非齐次线性方程组

1. 非齐次线性方程组的基本概念

1.1 定义

非齐次线性方程组 $Ax=b$（$b\ne 0$）对应的齐次方程组 $Ax=0$ 称为导出组。

1.2 解的性质

1. 若 ${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2$ 是 $Ax=b$ 的解，则 ${\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2$ 是导出组 $Ax=0$ 的解
2. 若 $\mathbf{\eta }$ 是 $Ax=b$ 的解，$\mathbf{\xi }$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $\mathbf{\eta }+\mathbf{\xi }$ 是 $Ax=b$ 的解
3. $Ax=b$ 的解集不构成向量空间（除非 $b=0$）

性质1的证明：$A({\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2)=A{\mathbf{\eta }}_1-A{\mathbf{\eta }}_2=b-b=0$

性质2的证明：$A(\mathbf{\eta }+\mathbf{\xi })=A\mathbf{\eta }+A\mathbf{\xi }=b+0=b$

2. 解的结构定理

2.1 定理内容

设 $Ax=b$ 有解，${\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 是导出组 $Ax=0$ 的基础解系，则 $Ax=b$ 的通解为：

$x={\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}$

其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}$ 为任意常数。

2.2 几何意义

非齐次方程组的解集是导出组解空间的一个平移（仿射子空间）。

• 齐次方程组的解集：过原点的子空间
• 非齐次方程组的解集：该子空间平移到特解位置

2.3 解的个数

| 情形 | 解的个数 | | -------------- | ----------- | ------------------------------ | | $r(A)\ne r(A|b)$ | 无解 | | $r(A)=r(A|b)=n$ | 唯一解 | | $r(A)=r(A|b)=r<n$ | 无穷多解（$n-r$ 个自由参数） |

3. 非齐次方程组通解的求法

3.1 步骤

1. 对增广矩阵 $(A|b)$ 施行初等行变换，化为行最简形
2. 判断解的情况（比较 $r(A)$ 和 $r(A|b)$）
3. 若有解，写出同解方程组
4. 确定主变量和自由变量
5. 求出一个特解 ${\mathbf{\eta }}^{\ast }$（令自由变量全为零）
6. 求导出组的基础解系 ${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$
7. 通解 $x={\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\xi }}_1+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}$

3.2 示例

求方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_3+2x_4=3\\ 2x_1+x_2-3x_3+4x_4=5\\ x_1-x_3+2x_4=2\end{array}$ 的通解。

步骤1：化增广矩阵为行最简形

$(A|b)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 2& 3\\ 2& 1& -3& 4& 5\\ 1& 0& -1& 2& 2\end{array}\right)$

$\stackrel{r_2-2r_1,r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 2& 3\\ 0& -1& -1& 0& -1\\ 0& -1& 0& 0& -1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 2& 3\\ 0& -1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

$\stackrel{-r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 2& 3\\ 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

$\stackrel{r_2-r_3,r_1+r_3}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 2& 3\\ 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

$\stackrel{r_1-r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 2& 2\\ 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

步骤2：$r(A)=r(A|b)=3<4$，有无穷多解。

步骤3：同解方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_4=2\\ x_2=1\\ x_3=0\end{array}$

步骤4：主变量 $x_1,x_2,x_3$，自由变量 $x_4$。

步骤5：令 $x_4=0$，得特解 ${\mathbf{\eta }}^{\ast }=(2,1,0,0{)}^T$。

步骤6：导出组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_4=0\\ x_2=0\\ x_3=0\end{array}$，令 $x_4=1$，得 $\mathbf{\xi }=(-2,0,0,1{)}^T$。

步骤7：通解 $x=(2,1,0,0{)}^T+k(-2,0,0,1{)}^T$（$k$ 为任意常数）。

4. 特解的不同取法

4.1 自由变量取零值

最常用的方法：令所有自由变量为零，求出主变量的值，得到特解。

4.2 自由变量取其他值

也可以令自由变量取其他值，得到的特解不同，但通解等价。

示例：在上例中，令 $x_4=1$，得特解 ${\mathbf{\eta }}^{\prime }=(0,1,0,1{)}^T$。

通解 $x=(0,1,0,1{)}^T+k(-2,0,0,1{)}^T$。

取 $k=-1$：$x=(2,1,0,0{)}^T$，与前面的特解一致。

5. 非齐次方程组与齐次方程组的关系

5.1 解集的关系

设 $S$ 为 $Ax=b$ 的解集，$S_0$ 为 $Ax=0$ 的解集，${\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 为 $Ax=b$ 的特解，则：

$S={\mathbf{\eta }}^{\ast }+S_0=\{{\mathbf{\eta }}^{\ast }+\mathbf{\xi }\mid \mathbf{\xi }\in S_0\}$

5.2 解的差

$Ax=b$ 的任意两个解之差是 $Ax=0$ 的解。

5.3 解的和

$Ax=b_1$ 的解与 $Ax=b_2$ 的解之和是 $A(x_1+x_2)=b_1+b_2$ 的解。

6. 典型例题

例1

设 $A$ 为 $4\times 5$ 矩阵，$r(A)=3$，${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,{\mathbf{\eta }}_3$ 是 $Ax=b$ 的三个线性无关的解，求 $Ax=b$ 的通解。

解：$r(A)=3$，$n=5$，基础解系含 $5-3=2$ 个向量。

${\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1$ 和 ${\mathbf{\eta }}_3-{\mathbf{\eta }}_1$ 是 $Ax=0$ 的解。

若 $k_1({\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1)+k_2({\mathbf{\eta }}_3-{\mathbf{\eta }}_1)=0$，则 $-k_1{\mathbf{\eta }}_1-k_2{\mathbf{\eta }}_1+k_1{\mathbf{\eta }}_2+k_2{\mathbf{\eta }}_3=0$。

由 ${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,{\mathbf{\eta }}_3$ 线性无关，得 $k_1=k_2=0$。

故 ${\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1$ 和 ${\mathbf{\eta }}_3-{\mathbf{\eta }}_1$ 线性无关，构成基础解系。

通解：$x={\mathbf{\eta }}_1+k_1({\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1)+k_2({\mathbf{\eta }}_3-{\mathbf{\eta }}_1)$

例2

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 是 $Ax=b$ 的解，${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，$k_1,k_2$ 为任意常数，则 $Ax=b$ 的通解是？

解：$Ax=b$ 的通解 = 特解 + 导出组的通解。

特解可取 ${\mathbf{\alpha }}_1$（或 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$），导出组通解为 $k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2$。

通解：$x={\mathbf{\alpha }}_1+k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2$。

注意：${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$ 不是 $Ax=b$ 的解（$A({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=2b\ne b$），$\frac{{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2}{2}$ 才是特解。