坐标与坐标变换

1. 向量的坐标

1.1 坐标的定义

设 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一组基，对于任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，存在唯一的一组数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，使得：

$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\epsilon }}_1+x_2{\mathbf{\epsilon }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\epsilon }}_n$

称 $(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$ 为 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\epsilon }}_1,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n$ 下的坐标。

1.2 坐标的唯一性

坐标由基和向量唯一确定。同一向量在不同基下有不同的坐标。

1.3 自然基下的坐标

在自然基 ${\mathbf{e}}_1=(1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,{\mathbf{e}}_n=(0,\dots ,0,1{)}^T$ 下，向量 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$ 的坐标就是 $(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$ 本身。

1.4 坐标的求法

设基矩阵 $E=({\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n)$，则：

$\mathbf{\alpha }=Ex\Rightarrow x=E^{-1}\mathbf{\alpha }$

示例：设 ${\mathbf{\epsilon }}_1=(1,1{)}^T$，${\mathbf{\epsilon }}_2=(1,-1{)}^T$，求 $\mathbf{\alpha }=(3,1{)}^T$ 在此基下的坐标。

$E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),E^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right)$

$x=E^{-1}\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$

2. 基变换

2.1 过渡矩阵

设 ${\mathbf{\epsilon }}_1,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n$（旧基）和 ${\mathbf{\eta }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}_n$（新基）是 $V$ 的两组基，新基的每个向量可用旧基线性表示：

$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\eta }}_1=p_{11}{\mathbf{\epsilon }}_1+p_{21}{\mathbf{\epsilon }}_2+\cdots +p_{n1}{\mathbf{\epsilon }}_n\\ {\mathbf{\eta }}_2=p_{12}{\mathbf{\epsilon }}_1+p_{22}{\mathbf{\epsilon }}_2+\cdots +p_{n2}{\mathbf{\epsilon }}_n\\ \cdots \\ {\mathbf{\eta }}_n=p_{1n}{\mathbf{\epsilon }}_1+p_{2n}{\mathbf{\epsilon }}_2+\cdots +p_{nn}{\mathbf{\epsilon }}_n\end{array}$

矩阵形式：

$({\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,\dots ,{\mathbf{\eta }}_n)=({\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n)P$

$P=(p_{ij}{)}_{n\times n}$ 称为由旧基到新基的过渡矩阵。

2.2 过渡矩阵的性质

1. 过渡矩阵 $P$ 一定可逆
2. $P^{-1}$ 是由新基到旧基的过渡矩阵
3. $|P|\ne 0$

2.3 过渡矩阵的求法

设旧基矩阵为 $E=({\mathbf{\epsilon }}_1,\dots ,{\mathbf{\epsilon }}_n)$，新基矩阵为 $F=({\mathbf{\eta }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}_n)$，则：

$F=EP\Rightarrow P=E^{-1}F$

示例：设旧基 ${\mathbf{\epsilon }}_1=(1,0{)}^T$，${\mathbf{\epsilon }}_2=(0,1{)}^T$，新基 ${\mathbf{\eta }}_1=(1,1{)}^T$，${\mathbf{\eta }}_2=(1,-1{)}^T$，求过渡矩阵。

$P=E^{-1}F=I^{-1}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

3. 坐标变换公式

3.1 定理

设 $\mathbf{\alpha }$ 在旧基下的坐标为 $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$，在新基下的坐标为 $y=(y_1,\dots ,y_n{)}^T$，过渡矩阵为 $P$，则：

$x=Py\text{或}y=P^{-1}x$

3.2 推导

$\mathbf{\alpha }=Ex=Fy=(EP)y$

故 $Ex=EPy$，因 $E$ 可逆，$x=Py$。

3.3 注意

过渡矩阵 $P$ 是从旧基到新基的变换，但坐标变换是 $x=Py$（旧坐标 = $P\times$ 新坐标），方向与基变换相反。

记忆口诀：基变正向，坐标变逆向。

4. 典型例题

例1

设 ${\mathbf{\epsilon }}_1=(1,0,0{)}^T$，${\mathbf{\epsilon }}_2=(1,1,0{)}^T$，${\mathbf{\epsilon }}_3=(1,1,1{)}^T$，${\mathbf{\eta }}_1=(1,0,1{)}^T$，${\mathbf{\eta }}_2=(0,1,0{)}^T$，${\mathbf{\eta }}_3=(0,0,1{)}^T$，求由 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,{\mathbf{\epsilon }}_3$ 到 ${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,{\mathbf{\eta }}_3$ 的过渡矩阵。

解：

$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),F=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

$P=E^{-1}F$

$E^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

例2

设 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,{\mathbf{\epsilon }}_3$ 下的坐标为 $(1,2,3{)}^T$，过渡矩阵 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，求 $\mathbf{\alpha }$ 在新基下的坐标。

解：$y=P^{-1}x$

$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$

$y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

例3

设 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,0,1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(1,1,0{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(0,1,1{)}^T$，证明它们是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基，并求 $\mathbf{\beta }=(2,3,4{)}^T$ 在此基下的坐标。

解：

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=1+1=2\ne 0$

故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基。

$x=A^{-1}\mathbf{\beta }$

$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

$x=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3/2\\ 1/2\\ 5/2\end{array}\right)$