特征值典型例题

1. 特征值计算

例1

求 $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量。

解：

$|A-\lambda I|=(3-\lambda {)}^2-1={\lambda }^2-6\lambda +8=(\lambda -2)(\lambda -4)$

${\lambda }_1=2$：$(A-2I)\mathbf{x}=0$，$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\mathbf{x}=0$，${\mathbf{x}}_1=(1,1{)}^T$

${\lambda }_2=4$：$(A-4I)\mathbf{x}=0$，$\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)\mathbf{x}=0$，${\mathbf{x}}_2=(1,-1{)}^T$

例2

求 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量。

解：

$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 2\\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|=(5-\lambda )(-1-\lambda {)}^2$

${\lambda }_1=5$，${\lambda }_2=-1$（二重）

${\lambda }_1=5$：${\mathbf{x}}_1=(1,1,1{)}^T$

${\lambda }_2=-1$：$(A+I)\mathbf{x}=0$，$2x_1+2x_2+2x_3=0$，即 $x_1+x_2+x_3=0$

${\mathbf{x}}_2=(-1,1,0{)}^T$，${\mathbf{x}}_3=(-1,0,1{)}^T$

2. 抽象矩阵的特征值

例3

设 $A$ 为三阶方阵，特征值为 $1,-1,2$，求 $|A^2+A-2I|$。

解：$A^2+A-2I$ 的特征值为 ${\lambda }^2+\lambda -2$：

$\lambda =1$：$1+1-2=0$

$\lambda =-1$：$1-1-2=-2$

$\lambda =2$：$4+2-2=4$

$|A^2+A-2I|=0\times (-2)\times 4=0$

例4

设 $A$ 为三阶方阵，$|A|=2$，$A$ 的特征值为 $1,2,1$，求 $|A^{\ast }-3A^{-1}+2I|$。

解：$A^{\ast }$ 的特征值为 $|A|/\lambda$：$2,1,2$。

$A^{-1}$ 的特征值为 $1/\lambda$：$1,1/2,1$。

$A^{\ast }-3A^{-1}+2I$ 的特征值为 $|A|/\lambda -3/\lambda +2$：

$\lambda =1$：$2-3+2=1$

$\lambda =2$：$1-3/2+2=3/2$

$\lambda =1$：$2-3+2=1$

$|A^{\ast }-3A^{-1}+2I|=1\times 3/2\times 1=3/2$

例5

设 $A^2=A$（幂等矩阵），$r(A)=r$，求 $A$ 的特征值。

解：设 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，则 $A^2\mathbf{x}={\lambda }^2\mathbf{x}$。

由 $A^2=A$：${\lambda }^2=\lambda$，$\lambda (\lambda -1)=0$，$\lambda =0$ 或 $\lambda =1$。

$\text{tr}(A)={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=$ 特征值 $1$ 的个数 $=r(A)=r$。

故 $A$ 有 $r$ 个特征值 $1$ 和 $n-r$ 个特征值 $0$。

3. 对角化判定

例6

判断 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 是否可对角化。

解：特征值 ${\lambda }_1=1$（二重），${\lambda }_2=2$。

${\lambda }_1=1$：$A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(A-I)=2$，几何重数 $=3-2=1<2$。

$A$ 不可对角化。

例7

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& b\end{array}\right)$，讨论 $A$ 可对角化的条件。

解：特征值 ${\lambda }_1=a$，${\lambda }_2=b$（二重）。

${\lambda }_2=b$：$A-bI=\left(\begin{array}{ccc}a-b& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

当 $a\ne b$ 时：$r(A-bI)=2$，几何重数 $=1<2$，不可对角化。

当 $a=b$ 时：$A-bI=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A-bI)=1$，几何重数 $=2=$ 代数重数，可对角化。

4. 正交对角化

例8

将 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$ 正交对角化。

解：

$|A-\lambda I|=(1-\lambda {)}^2-4=(\lambda -3)(\lambda +1)$

${\lambda }_1=3$，${\lambda }_2=-1$

${\lambda }_1=3$：${\mathbf{x}}_1=(1,-1{)}^T$，单位化 ${\mathbf{q}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1{)}^T$

${\lambda }_2=-1$：${\mathbf{x}}_2=(1,1{)}^T$，单位化 ${\mathbf{q}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^T$

$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

5. 综合题

例9

设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$r(A)=2$，$A^2+2A=O$，求 $A$ 的特征值及 $|A+I|$。

解：设 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，${\lambda }^2+2\lambda =0$，$\lambda =0$ 或 $\lambda =-2$。

$A$ 为实对称矩阵，可对角化。$r(A)=2$，故特征值 $0$ 的个数为 $3-2=1$，特征值 $-2$ 的个数为 $2$。

$A$ 的特征值为 $0,-2,-2$。

$|A+I|=1\times (-1)\times (-1)=1$。

例10

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A^2=I$，$r(A+I)=r$，求 $|A-2I|$。

解：${\lambda }^2=1$，$\lambda =\pm 1$。

$A+I$ 的特征值为 $\lambda +1$：$2$（对应 $\lambda =1$）和 $0$（对应 $\lambda =-1$）。

$r(A+I)=$ 特征值 $2$ 的个数 $=r$。

故 $A$ 有 $r$ 个特征值 $1$ 和 $n-r$ 个特征值 $-1$。

$A-2I$ 的特征值为 $1-2=-1$（$r$ 个）和 $-1-2=-3$（$n-r$ 个）。

$|A-2I|=(-1{)}^r\cdot (-3{)}^{n-r}$

例11

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 为 $n$ 维非零列向量，$A=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T$，${\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }=k$，求 $A$ 的特征值与特征向量。

解：$A\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }=k\mathbf{\alpha }$

$\lambda =k$ 是特征值，$\mathbf{\alpha }$ 是对应的特征向量。

$A\mathbf{x}=\mathbf{\alpha }({\mathbf{\beta }}^T\mathbf{x})=0$ 当 ${\mathbf{\beta }}^T\mathbf{x}=0$ 时。

$r(A)=1$（$\mathbf{\alpha }\ne 0$），$0$ 的代数重数为 $n-1$。

$A$ 的特征值为 $k$（单根）和 $0$（$n-1$ 重）。

当 $k\ne 0$ 时，$A$ 可对角化（几何重数 $=n-r(A)=n-1=$ 代数重数）。

例12

设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，证明：若 $|A|=1$ 且 $n$ 为奇数，则 $1$ 是 $A$ 的特征值；若 $|A|=-1$，则 $-1$ 是 $A$ 的特征值。

证明：

$|A|=1$，$n$ 为奇数：

$|A-I|=|A-A{A}^T|=|A(I-A^T)|=|A|\cdot |I-A^T|=|(I-A{)}^T|=|I-A|=-|A-I|$

（$|I-A|=|-(A-I)|=(-1{)}^n|A-I|=-|A-I|$，$n$ 为奇数）

故 $2|A-I|=0$，$|A-I|=0$，$1$ 是特征值。

$|A|=-1$：

$|A+I|=|A+A{A}^T|=|A(I+A^T)|=|A|\cdot |I+A^T|=-|I+A|=-|A+I|$

故 $2|A+I|=0$，$|A+I|=0$，$-1$ 是特征值。