向量空间典型例题

1. 线性相关性

例1

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，判断 $k$ 为何值时，${\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_1$，$k{\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_2$，${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关。

解：设 $x_1({\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_1)+x_2(k{\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_2)+x_3({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3)=0$

整理：$(-x_1+x_3){\mathbf{\alpha }}_1+(x_1-x_2){\mathbf{\alpha }}_2+(k{x}_2-x_3){\mathbf{\alpha }}_3=0$

由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关：

$\{\begin{array}{l}-x_1+x_3=0\\ x_1-x_2=0\\ k{x}_2-x_3=0\end{array}$

系数行列式 $\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& k& -1\end{array}\right|=1-k$

当 $k=1$ 时，行列式为零，有非零解，线性相关。

例2

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\mathbf{\alpha }$ 为 $n$ 维非零列向量，$\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha },A^2\mathbf{\alpha }$ 线性无关，$A^3\mathbf{\alpha }=3A\mathbf{\alpha }-2A^2\mathbf{\alpha }$，求 $|A+I|$。

解：由 $A^3\mathbf{\alpha }=3A\mathbf{\alpha }-2A^2\mathbf{\alpha }$，即 $(A^3+2A^2-3A)\mathbf{\alpha }=0$，$A(A^2+2A-3I)\mathbf{\alpha }=0$，$A(A+3I)(A-I)\mathbf{\alpha }=0$。

在基 $\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha },A^2\mathbf{\alpha }$ 下，$A$ 的表示矩阵为：

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\right)$

$|A+I|=|B+I|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 3\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=-1-3=-4$

2. 向量组的秩

例3

设 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,-1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(2,4,\lambda {)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(1,\lambda ,1{)}^T$，求 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 的秩。

解：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& \lambda \\ -1& \lambda & 1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_2-2r_1,r_3+r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& \lambda -2\\ 0& \lambda +2& 2\end{array}\right)$

当 $\lambda \ne 2$ 且 $\lambda \ne -2$ 时：$r(A)=3$

当 $\lambda =2$ 时：$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 4& 2\end{array}\right)$，$r(A)=2$

当 $\lambda =-2$ 时：$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& -4\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，$r(A)=2$

例4

设 $r(A)=r$，$A{\mathbf{\alpha }}_1=A{\mathbf{\alpha }}_2=A{\mathbf{\alpha }}_3=\mathbf{b}$（${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 互不相同），求 $r({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3)$。

解：$A({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)=0$，$A({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3)=0$。

${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2$ 和 ${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3$ 都是 $Ax=0$ 的解，且 ${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2\ne 0$。

若 ${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关，则 ${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3=k({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)$，即 $(1-k){\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3=0$。这取决于具体条件。

一般地，$r({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3)\le 2$，且至少为 $1$。

3. 正交化

例5

对 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(1,0,1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(0,1,1{)}^T$ 进行施密特正交化。

解：

${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,1{)}^T$

${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1=(1,0,1{)}^T-\frac{2}{3}(1,1,1{)}^T={\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)}^T$

${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2$

$({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_1)=2$，$({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$

$({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{3}$

${\mathbf{\beta }}_3=(0,1,1{)}^T-\frac{2}{3}(1,1,1{)}^T-\frac{-1/3}{2/3}{\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)}^T$

$=(0,1,1{)}^T-{\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)}^T+{\left(\frac{1}{6},-\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)}^T={\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)}^T$

单位化：

${\mathbf{e}}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^T$，${\mathbf{e}}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1{)}^T$，${\mathbf{e}}_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^T$

4. 基与维数

例6

求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$ 的零空间 $N(A)$ 的基和维数。

解：

$A\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& -2& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$r(A)=2$，$\dim (N(A))=4-2=2$。

同解方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_3+2x_4\\ x_2=-2x_3-3x_4\end{array}$

基础解系：${\mathbf{\xi }}_1=(1,-2,1,0{)}^T$，${\mathbf{\xi }}_2=(2,-3,0,1{)}^T$

例7

设 $V=\{(x_1,x_2,x_3{)}^T\mid x_1+x_2+x_3=0\}$，求 $V$ 的基和维数。

解：$V$ 是 $Ax=0$ 的解空间，其中 $A=(1,1,1)$。

$r(A)=1$，$\dim (V)=3-1=2$。

基础解系：${\mathbf{\xi }}_1=(-1,1,0{)}^T$，${\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,1{)}^T$

例8

证明 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基。

证明：设 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性无关，对任意 $\mathbf{\beta }\in {\mathbb{R}}^n$，${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }$ 是 $n+1$ 个 $n$ 维向量，必线性相关。

故存在不全为零的 $k_1,\dots ,k_n,k_{n+1}$ 使得 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_n{\mathbf{\alpha }}_n+k_{n+1}\mathbf{\beta }=0$。

若 $k_{n+1}=0$，则 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$，由线性无关得 $k_1=\cdots =k_n=0$，矛盾。

故 $k_{n+1}\ne 0$，$\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表示。

5. 正交矩阵

例9

设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，$|A|=1$，$n$ 为奇数，证明 $|A-I|=0$。

证明：

$|A-I|=|A-A{A}^T|=|A(I-A^T)|=|A|\cdot |I-A^T|=|I-A^T|$

$=|(I-A{)}^T|=|I-A|=|-(A-I)|=(-1{)}^n|A-I|=-|A-I|$

（$n$ 为奇数时 $(-1{)}^n=-1$）

故 $2|A-I|=0$，$|A-I|=0$。

例10

设 $A$ 为三阶正交矩阵，$|A|=1$，$\mathbf{\alpha }=(1,0,0{)}^T$，$A\mathbf{\alpha }=(0,1,0{)}^T$，求 $A$。

解：$A$ 的第一列为 $(0,1,0{)}^T$。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& a& d\\ 1& b& e\\ 0& c& f\end{array}\right)$

由 $A^{T}A=I$：第一列与第二列正交：$b=0$；第二列与第三列正交：$ad+be+cf=ad+cf=0$；第二列单位：$a^2+c^2=1$；第三列单位：$d^2+e^2+f^2=1$。

由 $|A|=1$：$|A|=-af+cd=1$（展开第一列）

第一行单位：$a^2+d^2=1$，第三行单位：$c^2+f^2=1$。

结合 $a^2+c^2=1$ 和 $a^2+d^2=1$，得 $c^2=d^2$。

设 $a=\cos \theta$，$c=\sin \theta$，则 $d=\pm \sin \theta$，$f=\mp \cos \theta$。

由 $-af+cd=\cos \theta \cdot \cos \theta +\sin \theta \cdot \sin \theta =1$（取 $d=-\sin \theta ,f=\cos \theta$ 时）

或 $-\cos \theta \cdot (-\cos \theta )+\sin \theta \cdot \sin \theta ={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$（取 $d=\sin \theta ,f=-\cos \theta$ 时）

还需满足 $ad+cf=0$：$\cos \theta \cdot d+\sin \theta \cdot f=0$。

取 $d=-\sin \theta ,f=\cos \theta$：$-\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta =0$

$e$ 由第三列单位确定：${\sin }^2\theta +e^2+{\cos }^2\theta =1$，$e=0$。

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 1& 0& 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

其中 $\theta$ 为任意角度。