正定二次型

1. 正定二次型的定义

1.1 定义

设 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ 为实二次型，若对任意 $\mathbf{x}\ne 0$，都有 $f(\mathbf{x})>0$，则称 $f$ 为正定二次型，$A$ 为正定矩阵。

1.2 其他类型的定义

1.3 负定与正定的关系

$A$ 负定 $⟺$ $-A$ 正定

2. 正定的判定条件

2.1 特征值判别法

$A$ 正定 $⟺$ $A$ 的所有特征值都为正数。

证明：$A$ 正交对角化为 $A=Q\Lambda Q^T$，${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{y}}^T\Lambda \mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2>0$（$\mathbf{y}\ne 0$）$⟺$ 所有 ${\lambda }_i>0$。

2.2 顺序主子式判别法（Sylvester 准则）

$A$ 正定 $⟺$ $A$ 的所有顺序主子式都为正。

${\Delta }_1=a_{11}>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0,\dots ,{\Delta }_n=|A|>0$

示例：判断 $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ 是否正定。

${\Delta }_1=2>0$，${\Delta }_2=4-1=3>0$，故 $A$ 正定。

2.3 合同判别法

$A$ 正定 $⟺$ $A$ 合同于单位矩阵 $I$

即存在可逆矩阵 $C$，使得 $C^{T}AC=I$。

2.4 惯性指数判别法

$A$ 正定 $⟺$ 正惯性指数 $p=n$（$A$ 为 $n$ 阶）

2.5 Cholesky 分解判别法

$A$ 正定 $⟺$ $A$ 可以分解为 $A=L{L}^T$（$L$ 为可逆下三角矩阵）

2.6 判定方法总结

3. 正定矩阵的性质

3.1 基本性质

1. 正定矩阵一定是对称矩阵
2. 正定矩阵一定可逆（$|A|>0$）
3. 正定矩阵的主对角线元素都为正（$a_{ii}>0$）
4. 正定矩阵的行列式为正

3.2 运算性质

1. $A$ 正定，$k>0$，则 $kA$ 正定
2. $A,B$ 正定，则 $A+B$ 正定
3. $A$ 正定，则 $A^{-1}$ 正定
4. $A$ 正定，则 $A^k$ 正定（$k$ 为正整数）
5. $A$ 正定，$C$ 可逆，则 $C^{T}AC$ 正定

3.3 注意

• $A,B$ 正定，$AB$ 未必正定（$AB$ 未必对称）
• $A,B$ 正定且 $AB=BA$，则 $AB$ 正定

3.4 与内积的关系

$A$ 正定 $⟺$ $(\mathbf{x},\mathbf{y}{)}_A={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{y}$ 定义了 ${\mathbb{R}}^n$ 上的内积。

4. 半正定矩阵

4.1 判定条件

$A$ 半正定 $⟺$ 以下任一条件成立：

1. 所有特征值 $\ge 0$
2. 正惯性指数 $p=r(A)$（无负惯性指数）
3. 存在矩阵 $B$ 使得 $A=B^{T}B$

4.2 半正定与正定的关系

$A$ 正定 $⟺$ $A$ 半正定且 $|A|\ne 0$

5. 典型例题

例1

判断 $f=5x_1^2+x_2^2+5x_3^2+4x_1{x}_2-8x_1{x}_3-4x_2{x}_3$ 的正定性。

解：

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 2& -4\\ 2& 1& -2\\ -4& -2& 5\end{array}\right)$

${\Delta }_1=5>0$

${\Delta }_2=5-4=1>0$

${\Delta }_3=|A|=5(5-4)-2(10-8)+(-4)(-4+4)=5-4+0=1>0$

所有顺序主子式为正，$A$ 正定。

例2

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{T}AP=I$ 且 $P^{T}BP=\Lambda$（对角矩阵）。

证明：$A$ 正定，存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC=I$。

令 $B_1=C^{T}BC$，$B_1$ 仍为实对称矩阵，可正交对角化：$Q^T{B}_{1}Q=\Lambda$。

取 $P=CQ$，则：

$P^{T}AP=Q^T{C}^{T}ACQ=Q^{T}IQ=I$

$P^{T}BP=Q^T{C}^{T}BCQ=Q^T{B}_{1}Q=\Lambda$

例3

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵（$m\ge n$），$r(A)=n$，证明 $A^{T}A$ 正定。

证明：$A^{T}A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。

对任意 $\mathbf{x}\ne 0$：${\mathbf{x}}^T(A^{T}A)\mathbf{x}=(A\mathbf{x}{)}^T(A\mathbf{x})=\Vert A\mathbf{x}{\Vert }^2\ge 0$

由 $r(A)=n$，$A\mathbf{x}=0$ 只有零解，故 $\mathbf{x}\ne 0$ 时 $A\mathbf{x}\ne 0$，$\Vert A\mathbf{x}{\Vert }^2>0$。

$A^{T}A$ 正定。

例4

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，证明 $A+A^{-1}\ge 2I$（即 $A+A^{-1}-2I$ 半正定）。

证明：$A$ 正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}AQ=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，${\lambda }_i>0$。

$Q^T(A+A^{-1}-2I)Q=\text{diag}({\lambda }_1+1/{\lambda }_1-2,\dots ,{\lambda }_n+1/{\lambda }_n-2)$

由 AM-GM 不等式：${\lambda }_i+1/{\lambda }_i\ge 2$（${\lambda }_i>0$），等号在 ${\lambda }_i=1$ 时成立。

故每个对角元素 $\ge 0$，$A+A^{-1}-2I$ 半正定。