矩阵运算

1. 矩阵的基本概念

1.1 矩阵的定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表称为 $m\times n$ 矩阵，记作：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)=(a_{ij}{)}_{m\times n}$

1.2 特殊矩阵

• 零矩阵：所有元素为零的矩阵，记作 $O$
• 单位矩阵：主对角线为1，其余为0的方阵，记作 $I$ 或 $E$
• 对角矩阵：非主对角线元素全为零的方阵，记作 $\text{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_n)$
• 数量矩阵：$kI$（$k$ 为常数）
• 三角矩阵：上三角矩阵、下三角矩阵

2. 矩阵的加法

2.1 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$B=(b_{ij}{)}_{m\times n}$，则：

$A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{m\times n}$

注意：只有同型矩阵（行数和列数分别相同）才能相加。

2.2 运算律

1. 交换律：$A+B=B+A$
2. 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
3. 零矩阵：$A+O=A$
4. 负矩阵：$A+(-A)=O$，其中 $-A=(-a_{ij})$

3. 矩阵的数乘

3.1 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$k$ 为常数，则：

$kA=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$

3.2 运算律

1. $k(A+B)=kA+kB$
2. $(k+l)A=kA+lA$
3. $(kl)A=k(lA)$
4. $1\cdot A=A$

4. 矩阵的乘法

4.1 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$，$B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$，则乘积 $AB=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，其中：

$c_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}$

关键：$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数才能相乘。

4.2 运算律

1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$
2. 分配律：$A(B+C)=AB+AC$，$(A+B)C=AC+BC$
3. 数乘结合：$k(AB)=(kA)B=A(kB)$
4. 单位矩阵：$AI=IA=A$

4.3 矩阵乘法不满足的运算律

1. 交换律一般不成立：$AB\ne BA$（一般情况下）

• $AB$ 有意义时 $BA$ 未必有意义
• 即使 $AB$ 和 $BA$ 都有意义，它们也未必同型
• 即使同型，$AB$ 和 $BA$ 也未必相等

2. 消去律不成立：

• $AB=AC$ 且 $A\ne O$，不能推出 $B=C$
• $AB=O$，不能推出 $A=O$ 或 $B=O$

示例：设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$，则 $AB=O$，但 $A\ne O$，$B\ne O$。

4.4 乘法示例

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$，则：

$AB=\left(\begin{array}{cc}1\times 5+2\times 7& 1\times 6+2\times 8\\ 3\times 5+4\times 7& 3\times 6+4\times 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{cc}5\times 1+6\times 3& 5\times 2+6\times 4\\ 7\times 1+8\times 3& 7\times 2+8\times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}23& 34\\ 31& 46\end{array}\right)$

可见 $AB\ne BA$。

5. 矩阵的转置

5.1 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，则 $A$ 的转置 $A^T=(a_{ji}{)}_{n\times m}$，即将 $A$ 的行与列互换。

$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)\Rightarrow A^T=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\end{array}\right)$

5.2 运算律

1. $(A^T{)}^T=A$
2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
3. $(kA{)}^T=k{A}^T$
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$（注意顺序反转）

5.3 特殊矩阵

• 对称矩阵：$A^T=A$，即 $a_{ij}=a_{ji}$
• 反对称矩阵：$A^T=-A$，即 $a_{ij}=-a_{ji}$（主对角线元素为零）

性质：

• 任意方阵 $A$ 可表示为对称部分与反对称部分之和：$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}$
• $A{A}^T$ 和 $A^{T}A$ 都是对称矩阵

6. 方阵的幂

6.1 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 为正整数，则：

$A^k=\underset{k\text{ 个}}{\underbrace{A\cdot A\cdots A}}$

规定 $A^0=I$。

6.2 运算律

1. $A^k\cdot A^l=A^{k+l}$
2. $(A^k{)}^l=A^{kl}$

注意：$(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$（一般情况下），因为矩阵乘法不满足交换律。

6.3 方阵幂的计算技巧

方法一：对角化法

若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$。

方法二：递推法

找出 $A^k$ 的递推关系。

方法三：二项式展开

若 $A=B+C$ 且 $BC=CB$，则：

$A^k=(B+C{)}^k={\sum }_{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})B^{k-i}{C}^i$

示例：设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，求 $A^n$。

$A=I+B,B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B^2=O$

$A^n=(I+B{)}^n=I+nB=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$

6.4 方阵多项式

设 $f(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，则方阵 $A$ 的多项式为：

$f(A)=a_m{A}^m+a_{m-1}{A}^{m-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I$

性质：若 $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$，则 $f(A)\mathbf{\alpha }=f(\lambda )\mathbf{\alpha }$。

7. 矩阵的迹

7.1 定义

$n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ 的迹（trace）定义为主对角线元素之和：

$\text{tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$

7.2 性质

1. $\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$
2. $\text{tr}(kA)=k\cdot \text{tr}(A)$
3. $\text{tr}(A^T)=\text{tr}(A)$
4. $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$（$A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times m$）
5. $\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$（${\lambda }_i$ 为 $A$ 的特征值）