克莱姆法则

1. 克莱姆法则的表述

1.1 定理内容

设含有 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的线性方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

记系数行列式为：

$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

若 $D\ne 0$，则方程组有唯一解：

$x_j=\frac{D_j}{D},j=1,2,\dots ,n$

其中 $D_j$ 是将 $D$ 中第 $j$ 列替换为常数列 $(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$ 后得到的行列式：

$D_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

1.2 矩阵形式

方程组可写为 $Ax=b$，其中 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$，$b=(b_1,\dots ,b_n{)}^T$。

当 $|A|\ne 0$ 时，$x=A^{-1}b$，克莱姆法则给出了 $x_j$ 的显式表达式。

2. 克莱姆法则的证明

2.1 存在性

将 $x_j=\frac{D_j}{D}$ 代入第 $i$ 个方程：

${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}\frac{D_j}{D}=\frac{1}{D}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{D}_j$

由行列式展开定理，$D_j$ 按第 $j$ 列展开：

$D_j=b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+\cdots +b_n{A}_{nj}={\sum }_{k=1}^n{b}_k{A}_{kj}$

因此：

${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{D}_j={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\sum }_{k=1}^n{b}_k{A}_{kj}={\sum }_{k=1}^n{b}_k{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}$

由代数余子式的性质：

${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=\{\begin{array}{ll}D,& i=k\\ 0,& i\ne k\end{array}$

故：

${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{D}_j=b_i\cdot D$

所以 $\frac{1}{D}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{D}_j=b_i$，验证了解的正确性。

2.2 唯一性

设 $x_1^{\ast },x_2^{\ast },\dots ,x_n^{\ast }$ 也是方程组的解，则：

${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j^{\ast }=b_i,i=1,2,\dots ,n$

两边乘以 $A_{ik}$ 并对 $i$ 求和：

${\sum }_{i=1}^n{A}_{ik}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j^{\ast }={\sum }_{i=1}^n{b}_i{A}_{ik}=D_k$

左边：

${\sum }_{j=1}^n{x}_j^{\ast }{\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}=x_k^{\ast }\cdot D$

故 $x_k^{\ast }=\frac{D_k}{D}$，解唯一。

3. 齐次线性方程组的情形

3.1 推论

对于齐次线性方程组 $Ax=0$：

• 若 $|A|\ne 0$，则方程组只有零解 $x=0$
• 若方程组有非零解，则 $|A|=0$

3.2 逆否命题

$|A|=0⟺\text{齐次方程组有非零解}$

这是判断齐次方程组是否有非零解的重要方法。

4. 克莱姆法则的应用

4.1 求解线性方程组

示例：解方程组 $\{\begin{array}{l}2x_1+x_2=5\\ x_1+3x_2=10\end{array}$

$D=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=5,D_1=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 10& 3\end{array}\right|=5,D_2=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 10\end{array}\right|=15$

$x_1=\frac{5}{5}=1,x_2=\frac{15}{5}=3$

4.2 判断解的存在性与唯一性

示例：判断方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ 2x_1+3x_2+x_3=2\\ x_1-x_2+3x_3=0\end{array}$ 是否有唯一解。

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& -1& 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& -2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0$

$D=0$，克莱姆法则不适用，方程组无唯一解。

4.3 含参数的方程组

示例：当 $\lambda$ 为何值时，方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}$ 有非零解？

齐次方程组有非零解的充要条件是 $D=0$：

$D=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)=0$

故 $\lambda =1$ 或 $\lambda =-2$ 时方程组有非零解。

5. 克莱姆法则的局限性

5.1 计算量问题

克莱姆法则需要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式，计算量为 $O(n\cdot n!)$，对于大规模方程组效率极低。实际计算中，高斯消元法（$O(n^3)$）更为高效。

5.2 适用范围

• 仅适用于方程个数等于未知量个数的方程组
• 要求系数行列式 $D\ne 0$
• 对于 $D=0$ 或方程个数与未知量个数不等的情况，克莱姆法则无法直接应用

5.3 理论价值

尽管实际计算中较少使用，克莱姆法则具有重要的理论价值：

1. 给出了解的显式表达式，便于理论分析
2. 揭示了解与系数和常数项之间的关系
3. 证明了当 $|A|\ne 0$ 时解的存在性与唯一性
4. 在参数分析、灵敏度分析中有应用