初等变换与初等矩阵

1. 初等变换

1.1 初等行变换

对矩阵施行以下三种变换称为初等行变换：

1. 对换变换：交换第 $i$ 行与第 $j$ 行，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$
2. 倍乘变换：用非零常数 $k$ 乘第 $i$ 行，记作 $k{r}_i$
3. 倍加变换：将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，记作 $r_i+k{r}_j$

1.2 初等列变换

类似地，对列施行的三种变换称为初等列变换：

1. 对换变换：$c_i\leftrightarrow c_j$
2. 倍乘变换：$k{c}_i$
3. 倍加变换：$c_i+k{c}_j$

1.3 初等变换的可逆性

每种初等变换都是可逆的，其逆变换也是同类型的初等变换：

1.4 矩阵的等价

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变为矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\cong B$。

等价关系满足：

• 自反性：$A\cong A$
• 对称性：$A\cong B\Rightarrow B\cong A$
• 传递性：$A\cong B,B\cong C\Rightarrow A\cong C$

2. 初等矩阵

2.1 定义

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

2.2 三种初等矩阵

1. 对换初等矩阵 $E(i,j)$：

交换单位矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行（或第 $i$ 列和第 $j$ 列）。

$E(1,2)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

2. 倍乘初等矩阵 $E(i(k))$：

单位矩阵第 $i$ 行（列）乘以非零常数 $k$。

$E(2(k))=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

3. 倍加初等矩阵 $E(i,j(k))$：

单位矩阵第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列）。

$E(1,2(k))=\left(\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

2.3 初等矩阵的性质

1. 初等矩阵都是可逆的
2. 初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵：
   • $E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$
   • $E(i(k){)}^{-1}=E(i(1/k))$
   • $E(i,j(k){)}^{-1}=E(i,j(-k))$
3. $|E(i,j)|=-1$，$|E(i(k))|=k$，$|E(i,j(k))|=1$

3. 初等变换与初等矩阵的关系

3.1 核心定理

对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的初等矩阵。

对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的初等矩阵。

即：

• $A\stackrel{r_i\leftrightarrow r_j}{\to }E(i,j)A$

• $A\stackrel{k{r}_i}{\to }E(i(k))A$

• $A\stackrel{r_i+k{r}_j}{\to }E(i,j(k))A$

• $A\stackrel{c_i\leftrightarrow c_j}{\to }AE(i,j)$

• $A\stackrel{k{c}_i}{\to }AE(i(k))$

• $A\stackrel{c_i+k{c}_j}{\to }AE(j,i(k))$

3.2 等价表述

$A$ 可逆 $⟺$ $A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

证明：

• $\Rightarrow$：$A$ 可逆，则 $A$ 可经初等行变换化为 $I$，即存在初等矩阵 $P_1,P_2,\dots ,P_s$ 使得 $P_s\cdots P_2{P}_{1}A=I$，故 $A=P_1^{-1}{P}_2^{-1}\cdots P_s^{-1}$，每个 $P_i^{-1}$ 也是初等矩阵。
• $\Leftarrow$：初等矩阵可逆，可逆矩阵的乘积仍可逆。

4. 矩阵的等价标准形

4.1 定理

任意 $m\times n$ 矩阵 $A$ 都可以经过初等变换化为等价标准形：

$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$

其中 $r=r(A)$ 为矩阵 $A$ 的秩。

4.2 等价标准形的唯一性

等价标准形由 $r(A)$ 唯一确定。两个矩阵等价当且仅当它们有相同的等价标准形，即它们有相同的秩。

$A\cong B⟺r(A)=r(B)$（同型矩阵）

5. 用初等变换求逆矩阵

5.1 方法

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，构造 $n\times 2n$ 矩阵 $(A|I)$，对其施行初等行变换：

$(A|I)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }(I|A^{-1})$

5.2 原理

设 $P_s\cdots P_{1}A=I$，则 $A^{-1}=P_s\cdots P_1$。

对 $(A|I)$ 施行同样的行变换：

$P_s\cdots P_1(A|I)=(P_s\cdots P_{1}A|P_s\cdots P_1)=(I|A^{-1})$

5.3 示例

求 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

$(A|I)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 2& 2& 1& 0& 1& 0\\ 3& 4& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_2-2r_1,r_3-3r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& -2& -5& -2& 1& 0\\ 0& -2& -6& -3& 0& 1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& -2& -5& -2& 1& 0\\ 0& 0& -1& -1& -1& 1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_2-5r_3,r_1+3r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& -2& -3& 3\\ 0& -2& 0& 3& 6& -5\\ 0& 0& -1& -1& -1& 1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_1+r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 3& -2\\ 0& -2& 0& 3& 6& -5\\ 0& 0& -1& -1& -1& 1\end{array}\right)$

$\stackrel{-\frac{1}{2}{r}_2,-r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 3& -2\\ 0& 1& 0& -3/2& -3& 5/2\\ 0& 0& 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -3/2& -3& 5/2\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$

6. 初等变换的其他应用

6.1 求矩阵的秩

将矩阵化为行阶梯形，非零行的行数即为秩。

6.2 解线性方程组

对增广矩阵施行初等行变换，化为行最简形。

6.3 求解矩阵方程

对于 $AX=B$：

$(A|B)\stackrel{\text{行变换}}{\to }(I|A^{-1}B)$

6.4 判断向量组的线性相关性

将向量按列排成矩阵，化为行阶梯形，根据秩判断。