基与维数

1. 极大线性无关组

1.1 定义

设 $S$ 是向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的一个部分组，若满足：

1. $S$ 线性无关
2. $S$ 中添加原向量组的任何一个向量后都线性相关

则称 $S$ 为向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的一个极大线性无关组。

1.2 等价定义

极大线性无关组是向量组中满足以下条件的部分组：

1. 线性无关
2. 原向量组中每个向量都可由它线性表示

即极大线性无关组与原向量组等价。

1.3 性质

1. 极大线性无关组不唯一，但所含向量个数唯一
2. 任意两个极大线性无关组等价
3. 线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身

1.4 求法

初等行变换法：

1. 将向量按列排成矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$
2. 对 $A$ 施行初等行变换，化为行阶梯形
3. 行阶梯形中主元所在的列对应的原向量构成极大线性无关组

示例：求 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,3{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(2,4,6{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_4=(0,1,2{)}^T$ 的极大线性无关组。

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 4& 1& 1\\ 3& 6& 1& 2\end{array}\right)\stackrel{r_2-2r_1,r_3-3r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& -2& 2\end{array}\right)$

$\stackrel{r_3-2r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

主元在第1、3列，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3$ 是一个极大线性无关组。

2. 向量组的秩

2.1 定义

向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。

2.2 矩阵的秩与向量组的秩

矩阵 $A$ 的秩 = $A$ 的行向量组的秩 = $A$ 的列向量组的秩

2.3 性质

1. $r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)\le \min (s,n)$（$n$ 为向量维数）
2. $r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)=s⟺{\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关
3. 若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示，则 $r(\text{I})\le r(\text{II})$
4. 等价的向量组秩相同

2.4 秩与线性表示

设 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表示，则：

$r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s,\mathbf{\beta })=r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$

反之亦然。

3. 向量空间的基与维数

3.1 向量空间的定义

设 $V$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的非空子集，若满足：

1. 对加法封闭：$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V\Rightarrow \mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in V$
2. 对数乘封闭：$\mathbf{\alpha }\in V,k\in \mathbb{R}\Rightarrow k\mathbf{\alpha }\in V$

则称 $V$ 为向量空间（${\mathbb{R}}^n$ 的子空间）。

3.2 基的定义

向量空间 $V$ 中的向量组 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_r$ 称为 $V$ 的一组基，若：

1. ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_r$ 线性无关
2. $V$ 中每个向量都可由 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_r$ 线性表示

3.3 维数

向量空间 $V$ 的维数 $\dim (V)$ 等于其基所含向量的个数。

3.4 常见向量空间

3.5 生成子空间

由向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的所有线性组合构成的集合称为由它们生成的子空间：

$\text{span}({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)=\{k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s\mid k_i\in \mathbb{R}\}$

$\dim (\text{span}({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s))=r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$

4. 基变换与坐标变换

4.1 向量的坐标

设 ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_r$ 是向量空间 $V$ 的一组基，$\mathbf{\alpha }\in V$，则：

$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +x_r{\mathbf{e}}_r$

$(x_1,x_2,\dots ,x_r{)}^T$ 称为 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_r$ 下的坐标。

4.2 过渡矩阵

设 ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$ 和 ${\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_n$ 是向量空间 $V$ 的两组基，且：

$\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{f}}_1& {\mathbf{f}}_2& \cdots & {\mathbf{f}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& \cdots & {\mathbf{e}}_n\end{array}\right)P$

则 $P$ 称为由基 ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$ 到基 ${\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_n$ 的过渡矩阵。

过渡矩阵 $P$ 一定是可逆的。

4.3 坐标变换公式

设 $\mathbf{\alpha }$ 在旧基下的坐标为 $x$，在新基下的坐标为 $y$，则：

$x=Py\text{或}y=P^{-1}x$

4.4 示例

设 ${\mathbf{e}}_1=(1,0{)}^T$，${\mathbf{e}}_2=(0,1{)}^T$，${\mathbf{f}}_1=(1,1{)}^T$，${\mathbf{f}}_2=(1,-1{)}^T$。

过渡矩阵：${\mathbf{f}}_1={\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2$，${\mathbf{f}}_2={\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2$

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$\mathbf{\alpha }=(3,1{)}^T$ 在旧基下坐标为 $(3,1{)}^T$，在新基下坐标为：

$y=P^{-1}x=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$

验证：$2{\mathbf{f}}_1+1\cdot {\mathbf{f}}_2=2(1,1{)}^T+(1,-1{)}^T=(3,1{)}^T$