特征值与特征向量计算

1. 特征值与特征向量的定义

1.1 定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\mathbf{x}$，使得：

$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\mathbf{x}$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

1.2 等价表述

$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}⟺(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$

$\mathbf{x}\ne 0$ 是 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 的非零解，故：

$|A-\lambda I|=0$

1.3 特征空间

属于特征值 $\lambda$ 的所有特征向量加上零向量构成的集合称为 $\lambda$ 的特征空间：

$V_{\lambda }=\{\mathbf{x}\mid A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}\}=N(A-\lambda I)$

特征空间的维数称为 $\lambda$ 的几何重数，即 $\dim (V_{\lambda })=n-r(A-\lambda I)$。

2. 特征方程与特征多项式

2.1 特征方程

$|A-\lambda I|=0$

称为 $A$ 的特征方程。

2.2 特征多项式

$f(\lambda )=|A-\lambda I|$

称为 $A$ 的特征多项式，它是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式。

$f(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n+(-1{)}^{n-1}(\text{tr}A){\lambda }^{n-1}+\cdots +|A|$

2.3 特征多项式的展开

对于 $n$ 阶矩阵 $A$：

$f(\lambda )=|\lambda I-A|={\lambda }^n-(\text{tr}A){\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n|A|$

其中：

• ${\lambda }^{n-1}$ 的系数为 $-\text{tr}(A)=-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})$
• 常数项为 $(-1{)}^n|A|$

3. 特征值与特征向量的计算步骤

3.1 计算步骤

1. 计算特征多项式 $f(\lambda )=|A-\lambda I|$
2. 解特征方程 $|A-\lambda I|=0$，求出所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$
3. 对每个特征值 ${\lambda }_i$，解齐次方程组 $(A-{\lambda }_{i}I)\mathbf{x}=0$，求出基础解系，即为属于 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量

3.2 示例

求 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量。

步骤1：特征多项式

$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda {)}^2-1={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)$

步骤2：特征值为 ${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=3$。

步骤3：

对 ${\lambda }_1=1$：$(A-I)\mathbf{x}=0$

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\mathbf{x}=0\Rightarrow x_1+x_2=0$

特征向量 ${\mathbf{x}}_1=(1,-1{)}^T$（或其非零倍数）。

对 ${\lambda }_2=3$：$(A-3I)\mathbf{x}=0$

$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\mathbf{x}=0\Rightarrow x_1-x_2=0$

特征向量 ${\mathbf{x}}_2=(1,1{)}^T$（或其非零倍数）。

3.3 三阶矩阵示例

求 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 6& -11& 6\end{array}\right)$ 的特征值。

$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 0\\ 0& -\lambda & 1\\ 6& -11& 6-\lambda \end{array}\right|=-\lambda [\lambda (\lambda -6)+11]+1\cdot (0-6)$

$=-{\lambda }^3+6{\lambda }^2-11\lambda +6=-(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)$

特征值为 ${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=2$，${\lambda }_3=3$。

4. 代数重数与几何重数

4.1 代数重数

特征值 ${\lambda }_i$ 作为特征方程根的重数称为 ${\lambda }_i$ 的代数重数 $m_a({\lambda }_i)$。

4.2 几何重数

${\lambda }_i$ 的特征空间的维数称为 ${\lambda }_i$ 的几何重数 $m_g({\lambda }_i)$：

$m_g({\lambda }_i)=n-r(A-{\lambda }_{i}I)$

4.3 关系

$1\le m_g({\lambda }_i)\le m_a({\lambda }_i)$

几何重数不超过代数重数。

示例：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

特征值 $\lambda =1$（二重根），代数重数为 $2$。

$A-I=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，$r(A-I)=1$，几何重数 $=2-1=1$。

5. 特征向量的性质

5.1 基本性质

1. 特征向量是非零向量
2. 若 $\mathbf{x}$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量，则 $k\mathbf{x}$（$k\ne 0$）也是属于 $\lambda$ 的特征向量
3. 属于同一特征值的特征向量的线性组合（非零）仍是该特征值的特征向量
4. 属于不同特征值的特征向量线性无关

5.2 不同特征值的特征向量

定理：设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_s$ 是 $A$ 的互不相同的特征值，${\mathbf{x}}_i$ 是属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量，则 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_s$ 线性无关。

推广：属于不同特征值的各组线性无关的特征向量合在一起仍线性无关。

6. 特殊矩阵的特征值

6.1 三角矩阵

上（下）三角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。

6.2 对角矩阵

对角矩阵 $\text{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_n)$ 的特征值就是 $d_1,d_2,\dots ,d_n$。

6.3 幂零矩阵

若 $A^k=O$（$k\ge 1$），则 $A$ 的特征值全为零。

6.4 正交矩阵

正交矩阵的特征值 $\lambda$ 满足 $|\lambda |=1$。