特征值性质

1. 特征值的基本性质

1.1 迹与特征值

$\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$

矩阵的迹等于所有特征值之和。

1.2 行列式与特征值

$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$

矩阵的行列式等于所有特征值之积。

1.3 可逆性与特征值

$A$ 可逆 $⟺$ $A$ 的特征值全不为零。

1.4 特征值的个数

$n$ 阶方阵在复数域上恰好有 $n$ 个特征值（计入代数重数）。

2. 矩阵运算的特征值

2.1 基本运算

设 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\mathbf{x}$（$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$），则：

| 矩阵 | 特征值 | 特征向量 | | ---------- | -------------- | -------------------------------- | ----------- | --------------------------------------- | | $kA$ | $k\lambda$ | $\mathbf{x}$ | | $A+kI$ | $\lambda +k$ | $\mathbf{x}$ | | $A^k$ | ${\lambda }^k$ | $\mathbf{x}$ | | $A^{-1}$ | ${\lambda }^{-1}$ | $\mathbf{x}$（$A$ 可逆时） | | $A^{\ast }$ | $\frac{|A|}{\lambda }$ | $\mathbf{x}$（$\lambda \ne 0$ 时） | | $f(A)$ | $f(\lambda )$ | $\mathbf{x}$（$f$ 为多项式） | | $A^T$ | $\lambda$ | 不一定是 $\mathbf{x}$ | | $P^{-1}AP$ | $\lambda$ | $P^{-1}\mathbf{x}$ |

2.2 证明

$A^k$：$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，$A^2\mathbf{x}=A(\lambda \mathbf{x})={\lambda }^2\mathbf{x}$，归纳得 $A^k\mathbf{x}={\lambda }^k\mathbf{x}$。

$A^{-1}$：$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，$\mathbf{x}=\lambda A^{-1}\mathbf{x}$，$A^{-1}\mathbf{x}={\lambda }^{-1}\mathbf{x}$。

$A^{\ast }$：$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，$A^{\ast }\mathbf{x}=|A|A^{-1}\mathbf{x}=\frac{|A|}{\lambda }\mathbf{x}$。

$f(A)$：$f(A)\mathbf{x}=(a_m{A}^m+\cdots +a_{1}A+a_{0}I)\mathbf{x}=(a_m{\lambda }^m+\cdots +a_1\lambda +a_0)\mathbf{x}=f(\lambda )\mathbf{x}$。

2.3 注意事项

1. $A+B$ 的特征值一般不是 $A$ 的特征值加 $B$ 的特征值
2. $AB$ 的特征值一般不是 $A$ 的特征值乘 $B$ 的特征值
3. $A^T$ 与 $A$ 有相同的特征值（但特征向量一般不同）

3. 特征值的估计

3.1 Gershgorin 圆盘定理

$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的每个特征值至少位于以下 $n$ 个圆盘之一中：

$D_i=\{z\in \mathbb{C}\mid |z-a_{ii}|\le R_i\}$

其中 $R_i={\sum }_{j\ne i}|a_{ij}|$ 是第 $i$ 行非对角线元素的绝对值之和。

3.2 特征值的界

对于实对称矩阵 $A$：

${\lambda }_{\min }\le \frac{{\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}}\le {\lambda }_{\max }$

（Rayleigh 商）

4. 特征多项式的性质

4.1 Cayley-Hamilton 定理

设 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda )=|\lambda I-A|$，则：

$f(A)=O$

应用：可以用低次幂表示高次幂。

示例：设 $A^3-2A^2+A-I=O$，求 $A^4$。

$A^3=2A^2-A+I$

$A^4=2A^3-A^2+A=2(2A^2-A+I)-A^2+A=3A^2-A+2I$

4.2 特征多项式的系数

$f(\lambda )={\lambda }^n-c_1{\lambda }^{n-1}+c_2{\lambda }^{n-2}-\cdots +(-1{)}^n{c}_n$

其中：

• $c_1=\text{tr}(A)={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n$
• $c_2={\sum }_{i<j}{\lambda }_i{\lambda }_j$（所有二阶主子式之和）
• $c_n=|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$

5. 典型例题

例1

设 $A$ 为三阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A^{\ast }+3A^{-1}-2I|$。

解：$A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda }$：$6/1=6$，$6/2=3$，$6/3=2$。

$A^{-1}$ 的特征值为 $1/\lambda$：$1$，$1/2$，$1/3$。

$A^{\ast }+3A^{-1}-2I$ 的特征值为：

$6+3\times 1-2=7$，$3+3\times 1/2-2=5/2$，$2+3\times 1/3-2=1$

$|A^{\ast }+3A^{-1}-2I|=7\times 5/2\times 1=35/2$

例2

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|\ne 0$，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，证明 ${\lambda }^{-1}|A{|}^2$ 是 $A^{\ast }$ 的特征值。

证明：$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，$A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda }$。

$(A^{\ast }{)}^2$ 的特征值为 ${\left(\frac{|A|}{\lambda }\right)}^2=\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}$。

但题目说的是 $A^{\ast }$ 的特征值，即 $\frac{|A|}{\lambda }$，而非 $(A^{\ast }{)}^2$。

若题目为 $|A|{\lambda }^{-1}$ 是 $A^{\ast }$ 的特征值，则正确。

例3

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$A^{T}A=I$，$|A|<0$，求 $A$ 的一个特征值。

解：$A^{T}A=I$，$A$ 为正交矩阵，$|A|=\pm 1$。

由 $|A|<0$，$|A|=-1$。

$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=-1$。

又 $|{\lambda }_i|=1$（正交矩阵的特征值模为1），且实矩阵的复特征值成共轭对出现，其积为正。

故至少有一个实特征值为 $-1$。

例4

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\mathbf{\alpha }$ 为 $n$ 维非零列向量，$A\mathbf{\alpha }=2\mathbf{\alpha }$，$A^2\mathbf{\alpha }=4\mathbf{\alpha }$，判断 $A$ 是否可对角化。

解：$A\mathbf{\alpha }=2\mathbf{\alpha }$，$\mathbf{\alpha }$ 是属于 $\lambda =2$ 的特征向量。

$A^2\mathbf{\alpha }=4\mathbf{\alpha }=2^2\mathbf{\alpha }$，这与 $A\mathbf{\alpha }=2\mathbf{\alpha }$ 一致（$A^2\mathbf{\alpha }=A(2\mathbf{\alpha })=2A\mathbf{\alpha }=4\mathbf{\alpha }$）。

仅凭这些信息无法判断 $A$ 是否可对角化，需要更多条件。