矩阵典型例题

1. 矩阵运算

例1

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，求 $A^n$。

解：$A=I+B$，其中 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，$B^2=O$。

$A^n=(I+B{)}^n=I+nB=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$

例2

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，求 $A^n-2A^{n-1}$（$n\ge 2$）。

解：$A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)=2A$

故 $A^n=A^{n-2}\cdot A^2=A^{n-2}\cdot 2A=2A^{n-1}$。

$A^n-2A^{n-1}=O$

例3

设 $\mathbf{\alpha }=(1,2,3{)}^T$，$\beta =(1,1,1{)}^T$，$A=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T$，求 $A^n$。

解：$A=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3& 3\end{array}\right)$

$A^2=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T=\mathbf{\alpha }({\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }){\mathbf{\beta }}^T$

${\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }=1+2+3=6$

$A^2=6\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T=6A$

$A^n=6^{n-1}A$

2. 逆矩阵

例4

设 $A^3=2I$，证明 $A^2-A+I$ 可逆，并求其逆。

解：设 $B=A^2-A+I$，需找 $C$ 使得 $BC=I$。

由 $A^3=2I$，得 $A^3-I=I$，即 $(A-I)(A^2+A+I)=I$。

又 $A^3-8I=-6I$，即 $(A-2I)(A^2+2A+4I)=-6I$。

尝试：$B\cdot (A+2I)=(A^2-A+I)(A+2I)=A^3+2A^2-A^2-2A+A+2I=A^3+A^2-A+2I$

$=2I+A^2-A+2I=A^2-A+4I$

不等于 $I$。换一种方式：

$B(A+2I)=A^3+A^2-A+2I=2I+A^2-A+2I=A^2-A+4I$

再试：$B\cdot \frac{A+2I}{3}$… 不行。

直接用 $A^3=2I$：$A^3-I=I$，$(A-I)(A^2+A+I)=I$。

而 $B=A^2-A+I$，$A^2+A+I=B+2A$。

$(A-I)(B+2A)=I$

$AB+2A^2-B-2A=I$

$B(A-I)=I-2A^2+2A=I-2(A^2-A)$

这条路复杂。换思路：

$A^3=2I$，所以 $A^3+I=3I$，$(A+I)(A^2-A+I)=3I$。

故 $B^{-1}=\frac{A+I}{3}$。

例5

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，$A+B=AB$，证明 $A-I$ 可逆。

解：$A+B=AB$，即 $AB-A-B=O$，$AB-A-B+I=I$，$(A-I)(B-I)=I$。

故 $A-I$ 可逆，$(A-I{)}^{-1}=B-I$。

3. 矩阵的秩

例6

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=A$，证明 $r(A)+r(I-A)=n$。

证明：

由 $A^2=A$ 得 $A(I-A)=O$，故 $r(A)+r(I-A)\le n$。

又 $A+(I-A)=I$，故 $n=r(I)\le r(A)+r(I-A)$。

因此 $r(A)+r(I-A)=n$。

例7

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵，$AB=O$，证明 $r(A)+r(B)\le n$。

证明：$B$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解，$B$ 的列空间是 $A$ 的零空间的子空间。

$r(B)\le \dim (N(A))=n-r(A)$

故 $r(A)+r(B)\le n$。

例8

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（$n\ge 2$），$A^{\ast }\ne O$，若 $Ax=0$ 有非零解，求 $r(A^{\ast })$。

解：$Ax=0$ 有非零解 $\Rightarrow |A|=0\Rightarrow r(A)\le n-1$。

$A^{\ast }\ne O\Rightarrow$ 存在 $n-1$ 阶非零子式 $\Rightarrow r(A)\ge n-1$。

故 $r(A)=n-1$，由伴随矩阵秩的公式，$r(A^{\ast })=1$。

4. 伴随矩阵

例9

设 $A$ 为三阶可逆矩阵，$|A|=3$，求 $|2(A^{\ast }{)}^{-1}|$。

解：$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{A}{|A|}=\frac{A}{3}$

$|2(A^{\ast }{)}^{-1}|=\left|\frac{2A}{3}\right|={\left(\frac{2}{3}\right)}^3|A|=\frac{8}{27}\times 3=\frac{8}{9}$

例10

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=a\ne 0$，求 $|(A^{\ast }{)}^{\ast }|$。

解：$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=a^{n-1}$

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|(A^{\ast }{)}^{-1}=a^{n-1}\cdot \frac{A}{|A|}=a^{n-2}A$

$|(A^{\ast }{)}^{\ast }|=a^{(n-2)n}\cdot |A|=a^{n^2-2n+1}=a^{(n-1{)}^2}$

5. 矩阵方程

例11

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$，$AX+I=A^2+X$，求 $X$。

解：$AX-X=A^2-I$，$(A-I)X=(A-I)(A+I)$

$A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$，$|A-I|=0+0+0=0$（$A-I$ 不可逆）

但 $A-I$ 不可逆，不能直接消去。需验证 $A^2-I$ 的列是否在 $A-I$ 的列空间中。

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right)$

$A^2-I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right)$

$A-I$ 的秩为 2，需要具体求解方程组。实际上，$X=A+I$ 是一个解：

$(A-I)(A+I)=A^2-I$

例12

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，解 $AXB=C$，其中 $C=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$。

解：$X=A^{-1}C{B}^{-1}$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$

$B^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3/2& -1/2\end{array}\right)$

$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 7& 8\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 7& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3/2& -1/2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$

6. 综合证明题

例13

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A^2=O$，证明 $A=O$。

证明：$A^2=O\Rightarrow A^{T}A=O$（因为 $A^T=A$）

$(A^{T}A{)}_{jj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}^2=0$

故 $a_{ij}=0$ 对所有 $i,j$ 成立，即 $A=O$。

例14

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2-2A-3I=O$，证明 $r(A+I)+r(A-3I)=n$。

证明：$(A+I)(A-3I)=A^2-2A-3I=O$

故 $r(A+I)+r(A-3I)\le n$。

又 $(A+I)-(A-3I)=4I$，故 $n=r(4I)\le r(A+I)+r(A-3I)$。

因此 $r(A+I)+r(A-3I)=n$。

例15

设 $A,B,C$ 为 $n$ 阶方阵，$ABC=O$，证明 $r(A)+r(B)+r(C)\le 2n$。

证明：由 $ABC=O$，得 $r(AB)+r(C)\le n$（因为 $C$ 的列在 $AB$ 的零空间中）。

又 $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$（Sylvester 不等式）。

故 $r(A)+r(B)-n+r(C)\le n$，即 $r(A)+r(B)+r(C)\le 2n$。