矩阵分解应用

1. 主成分分析（PCA）

1.1 问题背景

给定 $m$ 个 $n$ 维数据点 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_m$，希望找到数据的低维表示，保留尽可能多的信息。

1.2 数学模型

1. 中心化：$\bar{\mathbf{x}}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{\mathbf{x}}_i$，${\tilde{\mathbf{x}}}_i={\mathbf{x}}_i-\bar{\mathbf{x}}$

2. 构造数据矩阵：$X=({\tilde{\mathbf{x}}}_1,{\tilde{\mathbf{x}}}_2,\dots ,{\tilde{\mathbf{x}}}_m{)}^T$（$m\times n$）

3. 协方差矩阵：$C=\frac{1}{m-1}{X}^{T}X$（$n\times n$ 实对称半正定矩阵）

4. 对 $C$ 进行特征值分解：$C=V\Lambda V^T$

5. 选择前 $k$ 个最大特征值对应的特征向量，构成投影矩阵 $W=({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)$

6. 低维表示：${\mathbf{z}}_i=W^T{\tilde{\mathbf{x}}}_i$

1.3 与 SVD 的关系

对 $X$ 进行 SVD：$X=U\Sigma V^T$

则 $C=\frac{1}{m-1}V{\Sigma }^2{V}^T$

PCA 的主成分方向就是 $V$ 的列向量，主成分的方差为 $\frac{{\sigma }_i^2}{m-1}$。

1.4 方差解释比

前 $k$ 个主成分解释的方差比例为：

${\rho }_k=\frac{{\sum }_{i=1}^k{\sigma }_i^2}{{\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i^2}$

通常选择 $k$ 使 ${\rho }_k\ge 0.85$（或 $0.90,0.95$）。

1.5 PCA 的优缺点

优点：

• 降维去相关
• 保留最大方差
• 无参数方法

缺点：

• 线性方法，无法处理非线性结构
• 主成分可能缺乏可解释性
• 对异常值敏感

2. 推荐系统中的矩阵分解

2.1 问题背景

用户-物品评分矩阵 $R$（$m\times n$）大部分元素缺失，需要预测缺失的评分。

2.2 基本模型

将评分矩阵分解为两个低秩矩阵的乘积：

$R\approx P{Q}^T$

其中 $P$ 为 $m\times k$（用户隐因子矩阵），$Q$ 为 $n\times k$（物品隐因子矩阵），$k\ll \min (m,n)$。

2.3 目标函数

${\min }_{P,Q}{\sum }_{(i,j)\in \Omega }(r_{ij}-{\mathbf{p}}_i^T{\mathbf{q}}_j{)}^2+\lambda (\Vert P{\Vert }_F^2+\Vert Q{\Vert }_F^2)$

其中 $\Omega$ 为已观测评分的集合，$\lambda$ 为正则化参数。

2.4 求解方法

随机梯度下降（SGD）：

${\mathbf{p}}_i\leftarrow {\mathbf{p}}_i+\eta (e_{ij}{\mathbf{q}}_j-\lambda {\mathbf{p}}_i)$

${\mathbf{q}}_j\leftarrow {\mathbf{q}}_j+\eta (e_{ij}{\mathbf{p}}_i-\lambda {\mathbf{q}}_j)$

其中 $e_{ij}=r_{ij}-{\mathbf{p}}_i^T{\mathbf{q}}_j$，$\eta$ 为学习率。

交替最小二乘（ALS）：

固定 $Q$，求解 $P$；固定 $P$，求解 $Q$。交替进行直到收敛。

2.5 SVD 与推荐系统

截断 SVD 可以用于推荐系统，但需要处理缺失值。常用方法：

1. 用均值填充缺失值后做 SVD
2. 使用 SVD 的变体（如 SVD++）
3. 直接优化低秩近似

2.6 实际应用

• Netflix Prize 竞赛中，矩阵分解方法是获胜算法的核心
• Amazon、淘宝等电商的推荐系统
• 音乐、视频推荐

3. 图像压缩

3.1 基本原理

灰度图像可以表示为矩阵 $A$（$m\times n$），对 $A$ 进行 SVD：

$A={\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i{\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_i^T$

保留前 $k$ 个奇异值：

$A_k={\sum }_{i=1}^k{\sigma }_i{\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_i^T$

3.2 压缩比

原始存储：$m\times n$ 个数

压缩后存储：$k(m+n+1)$ 个数（$k$ 个 ${\sigma }_i$，$k$ 个 ${\mathbf{u}}_i$，$k$ 个 ${\mathbf{v}}_i$）

压缩比：$\frac{mn}{k(m+n+1)}$

3.3 压缩质量

保留的奇异值越多，压缩质量越高：

$\frac{\Vert A-A_k{\Vert }_F}{\Vert A{\Vert }_F}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=k+1}^r{\sigma }_i^2}{{\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i^2}}$

3.4 示例

对于 $256\times 256$ 的图像，取 $k=50$：

• 原始：$256\times 256=65536$ 个数
• 压缩后：$50\times (256+256+1)=25650$ 个数
• 压缩比：约 $2.55:1$

4. 线性判别分析（LDA）

4.1 问题

给定带标签的数据，找到投影方向使类间距离最大、类内距离最小。

4.2 数学模型

设 $S_B$ 为类间散布矩阵，$S_W$ 为类内散布矩阵，优化目标：

${\max }_{\mathbf{w}}\frac{{\mathbf{w}}^T{S}_B\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^T{S}_W\mathbf{w}}$

4.3 求解

广义特征值问题：$S_B\mathbf{w}=\lambda S_W\mathbf{w}$

若 $S_W$ 可逆：$S_W^{-1}{S}_B\mathbf{w}=\lambda \mathbf{w}$

对 $S_W^{-1}{S}_B$ 进行特征值分解，取前 $k$ 个最大特征值对应的特征向量。

4.4 与 PCA 的比较

5. 其他应用

5.1 自然语言处理

• 潜在语义分析（LSA）：对词-文档矩阵做 SVD，发现潜在语义结构
• 词嵌入：基于矩阵分解的词向量学习方法

5.2 信号处理

• 降噪：截断小奇异值去除噪声
• 信号分离：利用 SVD 分离混合信号

5.3 数值计算

• 矩阵低秩近似：Eckart-Young 定理保证 SVD 给出最优低秩近似
• 条件数估计：$\kappa (A)={\sigma }_{\max }/{\sigma }_{\min }$
• 有效秩：根据奇异值分布确定矩阵的”有效秩”

5.4 系统理论

• 模型降阶：用低秩近似简化高阶系统
• 可控性与可观测性：通过矩阵的秩分析系统性质