线性方程组典型例题

1. 解的判定

例1

讨论方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_2+2x_3+2x_4=1\\ -x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\\ 3x_1+2x_2+x_3+a{x}_4=-1\end{array}$ 的解的情况。

解：对增广矩阵做行变换：

$(A|b)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& 2& 1\\ 0& -1& a-3& -2& b\\ 3& 2& 1& a& -1\end{array}\right)\stackrel{r_3+r_2,r_4-3r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& 2& 1\\ 0& 0& a-1& 0& b+1\\ 0& -1& -2& a-3& -1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_4+r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& 2& 1\\ 0& 0& a-1& 0& b+1\\ 0& 0& 0& a-1& 0\end{array}\right)$

当 $a\ne 1$ 时：$r(A)=r(A|b)=4$，唯一解。

当 $a=1,b\ne -1$ 时：$r(A)=2\ne r(A|b)=3$，无解。

当 $a=1,b=-1$ 时：$r(A)=r(A|b)=2<4$，无穷多解。

2. 求通解

例2

求方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-3x_4=1\\ x_1-x_2-2x_3+3x_4=-\frac{1}{2}\end{array}$ 的通解。

解：

$(A|b)=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 1& 0\\ 1& -1& 1& -3& 1\\ 1& -1& -2& 3& -1/2\end{array}\right)$

$\stackrel{r_2-r_1,r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 2& -4& 1\\ 0& 0& -1& 2& -1/2\end{array}\right)$

$\stackrel{r_3+\frac{1}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 2& -4& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$\stackrel{\frac{1}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& -2& 1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$\stackrel{r_1+r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& -1& 1/2\\ 0& 0& 1& -2& 1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$r(A)=r(A|b)=2<4$，有无穷多解。主变量 $x_1,x_3$，自由变量 $x_2,x_4$。

同解方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2+x_4+1/2\\ x_3=2x_4+1/2\end{array}$

令 $x_2=x_4=0$，特解 ${\mathbf{\eta }}^{\ast }=(1/2,0,1/2,0{)}^T$。

导出组：$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2+x_4\\ x_3=2x_4\end{array}$

令 $(x_2,x_4)=(1,0)$：${\mathbf{\xi }}_1=(1,1,0,0{)}^T$

令 $(x_2,x_4)=(0,1)$：${\mathbf{\xi }}_2=(1,0,2,1{)}^T$

通解：$x=(1/2,0,1/2,0{)}^T+k_1(1,1,0,0{)}^T+k_2(1,0,2,1{)}^T$

3. 含参数方程组

例3

当 $\lambda$ 为何值时，方程组 $\{\begin{array}{l}(1+\lambda )x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+(1+\lambda )x_2+x_3=3\\ x_1+x_2+(1+\lambda )x_3=\lambda \end{array}$ 有唯一解、无解、无穷多解？

解：

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1+\lambda & 1& 1\\ 1& 1+\lambda & 1\\ 1& 1& 1+\lambda \end{array}\right|=(\lambda +3){\lambda }^2$

当 $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \ne -3$ 时：$|A|\ne 0$，唯一解。

当 $\lambda =0$ 时：

$(A|b)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 3\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$r(A)=1\ne r(A|b)=2$，无解。

当 $\lambda =-3$ 时：

$(A|b)=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 3\\ 1& 1& -2& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 3\\ 0& -3& 3& 6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$r(A)=r(A|b)=2<3$，无穷多解。

4. 抽象方程组

例4

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=0$，$A_{11}\ne 0$，求 $Ax=0$ 的通解。

解：$|A|=0$ 且 $A_{11}\ne 0$，故 $r(A)=n-1$。

由 $A{A}^{\ast }=|A|I=O$，$A^{\ast }$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解。

$A^{\ast }$ 的第一列为 $(A_{11},A_{21},\dots ,A_{n1}{)}^T$，因 $A_{11}\ne 0$，此解非零。

$r(A)=n-1$，基础解系含 $1$ 个向量。

通解：$x=k(A_{11},A_{21},\dots ,A_{n1}{)}^T$（$k$ 为任意常数）。

例5

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r$，${\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 是 $Ax=b$ 的特解，${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，证明 ${\mathbf{\eta }}^{\ast },{\mathbf{\eta }}^{\ast }+{\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}^{\ast }+{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 线性无关。

证明：设 $k_0{\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1({\mathbf{\eta }}^{\ast }+{\mathbf{\xi }}_1)+\cdots +k_{n-r}({\mathbf{\eta }}^{\ast }+{\mathbf{\xi }}_{n-r})=0$

$(k_0+k_1+\cdots +k_{n-r}){\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\xi }}_1+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}=0$

两边乘以 $A$：$(k_0+k_1+\cdots +k_{n-r})b=0$

因 $b\ne 0$，故 $k_0+k_1+\cdots +k_{n-r}=0$。

代入得 $k_1{\mathbf{\xi }}_1+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}=0$。

由 ${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 线性无关，$k_1=\cdots =k_{n-r}=0$，进而 $k_0=0$。

例6

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\mathbf{\alpha }$ 为 $n$ 维非零列向量，$A\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$，证明 $r(A-I)\le n-1$。

证明：$A\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$，即 $(A-I)\mathbf{\alpha }=0$。

$\mathbf{\alpha }\ne 0$ 是 $Ax=0$ 的非零解（其中 $A$ 替换为 $A-I$），故 $|A-I|=0$，$r(A-I)\le n-1$。

5. 综合题

例7

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right)$，$a,b,c$ 互不相同，求 $Ax=0$ 的通解。

解：$|A|$ 是范德蒙德行列式：

$|A|=(b-a)(c-a)(c-b)\ne 0$

故 $r(A)=3$，$Ax=0$ 只有零解 $x=0$。

例8

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵，$AB=O$，证明 $B$ 的列向量都是 $Ax=0$ 的解。

证明：设 $B=({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_s)$，则 $AB=(A{\mathbf{b}}_1,A{\mathbf{b}}_2,\dots ,A{\mathbf{b}}_s)=O$。

故 $A{\mathbf{b}}_j=0$（$j=1,2,\dots ,s$），即 $B$ 的每个列向量都是 $Ax=0$ 的解。

例9

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$r(A)=2$，${\mathbf{\eta }}_1=(1,2,3{)}^T$，${\mathbf{\eta }}_2=(2,3,4{)}^T$ 是 $Ax=b$ 的解，求 $Ax=b$ 的通解。

解：$r(A)=2$，$n=3$，基础解系含 $1$ 个向量。

$\mathbf{\xi }={\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1=(1,1,1{)}^T$ 是 $Ax=0$ 的非零解，构成基础解系。

通解：$x=(1,2,3{)}^T+k(1,1,1{)}^T$（$k$ 为任意常数）。

例10

设 $A$ 为 $4\times 3$ 矩阵，$r(A)=2$，${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,{\mathbf{\eta }}_3$ 是 $Ax=b$ 的解，${\mathbf{\eta }}_1+2{\mathbf{\eta }}_2-3{\mathbf{\eta }}_3=0$，求 $Ax=b$ 的通解。

解：$r(A)=2$，$n=3$，基础解系含 $3-2=1$ 个向量。

${\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1$ 和 ${\mathbf{\eta }}_3-{\mathbf{\eta }}_1$ 都是 $Ax=0$ 的解。

由 ${\mathbf{\eta }}_1+2{\mathbf{\eta }}_2-3{\mathbf{\eta }}_3=0$，得 ${\mathbf{\eta }}_1=3{\mathbf{\eta }}_3-2{\mathbf{\eta }}_2$。

${\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1={\mathbf{\eta }}_2-3{\mathbf{\eta }}_3+2{\mathbf{\eta }}_2=3{\mathbf{\eta }}_2-3{\mathbf{\eta }}_3=-3({\mathbf{\eta }}_3-{\mathbf{\eta }}_2)$

只需取 $\mathbf{\xi }={\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1$（若非零）。

通解：$x={\mathbf{\eta }}_1+k({\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1)$（$k$ 为任意常数）。