行列式基本性质

1. 性质概述

行列式具有以下七条基本性质，它们是计算和化简行列式的基础。设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|$ 或 $\det (A)$ 表示其行列式。

2. 性质一：转置不变性

$|A^T|=|A|$

行列式转置后值不变。这意味着行列式对行成立的性质对列也同样成立。

证明思路：设 $A=(a_{ij})$，$A^T=(a_{ji})$，则：

$|A^T|=\sum (-1{)}^{\tau (p_1{p}_2\cdots p_n)}{a}_{p_{1}1}{a}_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}=|A|$

推论：凡是对行成立的性质，对列也成立。

3. 性质二：行（列）交换变号

交换行列式的任意两行（列），行列式变号。

$\stackrel{r_i\leftrightarrow r_j}{\to }|A^{\prime }|=-|A|$

证明思路：交换两行相当于对排列做一次对换，排列的奇偶性改变，故每一项的符号都改变，总和变号。

推论：若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。

证明：设第 $i$ 行与第 $j$ 行相同，交换这两行得 $|A^{\prime }|=-|A|$，但交换后行列式不变 $|A^{\prime }|=|A|$，故 $|A|=-|A|$，即 $|A|=0$。

4. 性质三：行（列）公因子提取

行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面。

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

注意：$|kA|=k^n|A|$（不是 $k|A|$），因为每行都有公因子 $k$，共 $n$ 行。

示例：

$\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 6& 8\end{array}\right|=2\times 2\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=4\times (4-6)=-8$

验证：$2\times 8-4\times 6=16-24=-8$

5. 性质四：行（列）成比例则为零

若行列式有两行（列）成比例，则行列式为零。

$\text{若第 }i\text{ 行}=k\times \text{第 }j\text{ 行，则 }|A|=0$

证明：由性质三，将第 $i$ 行的公因子 $k$ 提出后，第 $i$ 行与第 $j$ 行相同，由性质二的推论知行列式为零。

特例：若行列式有一行（列）全为零，则行列式为零（$k=0$ 的情形）。

6. 性质五：行（列）可加性（拆行/列）

若行列式的某行（列）可以拆成两个元素之和，则行列式可拆成两个行列式之和。

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{i1}+c_{i1}& b_{i2}+c_{i2}& \cdots & b_{in}+c_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{i1}& b_{i2}& \cdots & b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{i1}& c_{i2}& \cdots & c_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

注意：只能拆一行（列），其余行（列）保持不变。

示例：

$\left|\begin{array}{cc}1+2& 3+4\\ 5& 6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 6\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 5& 6\end{array}\right|=(6-15)+(12-20)=-9+(-8)=-17$

验证：$\left|\begin{array}{cc}3& 7\\ 5& 6\end{array}\right|=18-35=-17$

7. 性质六：行（列）倍加不变

将行列式某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）上，行列式值不变。

$\stackrel{r_i+k{r}_j}{\to }|A^{\prime }|=|A|$

证明：利用性质五拆行，再利用性质四消去成比例的行。

$\left|\begin{array}{ccc}⋮& & \\ a_{i1}+k{a}_{j1}& \cdots & a_{in}+k{a}_{jn}\\ ⋮& & \\ a_{j1}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& & \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}⋮& & \\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & \\ a_{j1}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& & \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}⋮& & \\ k{a}_{j1}& \cdots & k{a}_{jn}\\ ⋮& & \\ a_{j1}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& & \end{array}\right|$

第二个行列式中第 $i$ 行是第 $j$ 行的 $k$ 倍，故为零。

这是化简行列式最常用的性质，通过倍加变换可以将行列式化为上三角形式。

8. 性质七：乘法公式

$|AB|=|A|\cdot |B|$

注意：一般地，$|A+B|\ne |A|+|B|$。

推论：

1. $|A^k|=|A{|}^k$
2. $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$（当 $A$ 可逆时）
3. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$（$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵）

9. 性质的综合应用

9.1 利用性质化简行列式

示例：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$

$\stackrel{r_2-4r_1,r_3-7r_1}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 0& -6& -12\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0$

（第二行 $-2$ 倍加到第三行，第三行全为零）

9.2 利用性质证明行列式为零

常见情形：

1. 两行（列）相同 → 性质二推论
2. 两行（列）成比例 → 性质四
3. 某行（列）全为零 → 性质三（$k=0$）
4. 可化为上述情形 → 性质六

9.3 抽象行列式的计算

示例：设 $A$ 为三阶方阵，$|A|=2$，求 $|2A^{-1}-3A^{\ast }|$。

由 $A^{\ast }=|A|A^{-1}=2A^{-1}$，故：

$2A^{-1}-3A^{\ast }=2A^{-1}-3\times 2A^{-1}=2A^{-1}-6A^{-1}=-4A^{-1}$

$|2A^{-1}-3A^{\ast }|=|-4A^{-1}|=(-4{)}^3|A^{-1}|=-64\times \frac{1}{|A|}=-64\times \frac{1}{2}=-32$