行列式定义与几何意义

1. 二阶行列式

1.1 定义

设有一个 $2\times 2$ 的数表：

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$

其二阶行列式定义为：

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

1.2 计算方法——对角线法则

二阶行列式的计算遵循对角线法则（沙路法则）：

• 主对角线（左上到右下）：$a_{11}{a}_{22}$，取正号
• 副对角线（右上到左下）：$a_{12}{a}_{21}$，取负号

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

示例：

$\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right|=3\times 4-1\times 2=12-2=10$

1.3 二元线性方程组的行列式解法

对于方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$

令 $D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$，$D_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|$，$D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|$

当 $D\ne 0$ 时，$x_1=\frac{D_1}{D}$，$x_2=\frac{D_2}{D}$。

2. 三阶行列式

2.1 定义

设有一个 $3\times 3$ 的数表：

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

其三阶行列式定义为：

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

2.2 对角线法则

三阶行列式的对角线法则：

• 三条主对角线方向（取正号）：

  • $a_{11}{a}_{22}{a}_{33}$
  • $a_{12}{a}_{23}{a}_{31}$
  • $a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$

• 三条副对角线方向（取负号）：

  • $a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$
  • $a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$
  • $a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

示例：

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 0\end{array}\right|=1\times 5\times 0+2\times 6\times 7+3\times 4\times 8-3\times 5\times 7-2\times 4\times 0-1\times 6\times 8$

$=0+84+96-105-0-48=27$

3. 排列与逆序数

3.1 排列

由 $1,2,\dots ,n$ 组成的一个有序数组称为一个 $n$ 阶排列。$n$ 阶排列共有 $n!$ 个。

3.2 逆序与逆序数

在一个排列 $p_1{p}_2\cdots p_n$ 中，若 $i<j$ 但 $p_i>p_j$，则称 $(p_i,p_j)$ 构成一个逆序。

排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $\tau (p_1{p}_2\cdots p_n)$。

逆序数的计算方法：对排列中每个元素，数其后面比它小的元素个数，然后求和。

示例：计算 $\tau (42513)$

• $4$ 后面比 $4$ 小的有 $2,1,3$，共 $3$ 个
• $2$ 后面比 $2$ 小的有 $1$，共 $1$ 个
• $5$ 后面比 $5$ 小的有 $1,3$，共 $2$ 个
• $1$ 后面没有比 $1$ 小的，共 $0$ 个
• $3$ 后面没有，共 $0$ 个

$\tau (42513)=3+1+2+0+0=6$

3.3 奇排列与偶排列

• 逆序数为奇数的排列称为奇排列
• 逆序数为偶数的排列称为偶排列

对换：交换排列中两个元素的位置。一次对换改变排列的奇偶性。

4. n阶行列式

4.1 定义

$n$ 阶行列式定义为：

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|={\sum }_{p_1{p}_2\cdots p_n}(-1{)}^{\tau (p_1{p}_2\cdots p_n)}{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}$

其中求和取遍所有 $n$ 阶排列 $p_1{p}_2\cdots p_n$，共有 $n!$ 项。

4.2 等价定义（列标排列）

行列式也可以按列标排列定义：

$|A|={\sum }_{q_1{q}_2\cdots q_n}(-1{)}^{\tau (q_1{q}_2\cdots q_n)}{a}_{q_{1}1}{a}_{q_{2}2}\cdots a_{q_{n}n}$

4.3 行列式定义的要点

1. 行列式是 $n!$ 项的代数和
2. 每项是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积
3. 每项的符号由行标排列和列标排列的逆序数共同决定
4. 当行标按自然序排列时，符号由列标排列的逆序数决定

示例：用定义计算四阶行列式中含 $a_{12}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{41}$ 的项的符号。

行标排列为 $(1,2,3,4)$，列标排列为 $(2,3,4,1)$。

$\tau (2341)=0+0+0+3=3$（奇数），故该项取负号：$-a_{12}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{41}$。

5. 行列式的几何意义

5.1 二阶行列式的几何意义

二阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ 的绝对值等于由列向量 ${\mathbf{\alpha }}_1=(a_{11},a_{21}{)}^T$ 和 ${\mathbf{\alpha }}_2=(a_{12},a_{22}{)}^T$ 张成的平行四边形的面积。

$S=|a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}|$

行列式的正负号表示两个列向量的定向：

• 行列式 $>0$：${\mathbf{\alpha }}_1$ 到 ${\mathbf{\alpha }}_2$ 为逆时针方向
• 行列式 $<0$：${\mathbf{\alpha }}_1$ 到 ${\mathbf{\alpha }}_2$ 为顺时针方向
• 行列式 $=0$：两向量共线，面积为零

5.2 三阶行列式的几何意义

三阶行列式的绝对值等于由三个列向量张成的平行六面体的体积。

$V=\left|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\right|$

行列式的正负号反映了三个向量的手性（右手系或左手系）。

5.3 n阶行列式的几何意义

$n$ 阶行列式的绝对值等于由 $n$ 个 $n$ 维列向量张成的平行多面体的体积。

行列式为零意味着这些向量线性相关，张成的”体积”为零，即所有向量落在一个低于 $n$ 维的超平面上。

5.4 行列式与线性变换

设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是由矩阵 $A$ 表示的线性变换，则：

$\text{Vol}(T(\Omega ))=|\det (A)|\cdot \text{Vol}(\Omega )$

即行列式的绝对值是线性变换的体积伸缩因子。

• $|\det (A)|>1$：变换放大体积
• $|\det (A)|<1$：变换缩小体积
• $|\det (A)|=0$：变换将空间压缩到低维
• $\det (A)<0$：变换改变了定向（如镜像反射）

6. 特殊行列式

6.1 对角行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$

6.2 上三角行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$

6.3 副对角线行列式

$\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& \text{iddots}& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1}$

当 $n=2$ 时，符号为 $(-1{)}^1=-1$；当 $n=3$ 时，符号为 $(-1{)}^3=-1$；当 $n=4$ 时，符号为 $(-1{)}^6=1$。