行列式按行列展开

1. 余子式与代数余子式

1.1 余子式

在 $n$ 阶行列式 $|A|$ 中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩下的元素按原顺序构成的 $n-1$ 阶行列式，称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

$M_{ij}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

1.2 代数余子式

$a_{ij}$ 的代数余子式定义为：

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

符号规律：$(-1{)}^{i+j}$ 的符号可以用”棋盘法则”记忆——从 $(1,1)$ 位置开始，正负交替：

$\left(\begin{array}{cccc}+& -& +& \cdots \\ -& +& -& \cdots \\ +& -& +& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

示例：设 $|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$，求 $A_{23}$。

$M_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|=8-14=-6$

$A_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=(-1{)}^5\times (-6)=6$

2. 行列式按行（列）展开定理

2.1 展开定理

定理：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

按第 $i$ 行展开：

$|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

按第 $j$ 列展开：

$|A|=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

2.2 展开定理的证明思路

以三阶行列式按第一行展开为例：

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

$=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}$

2.3 展开定理的意义

展开定理将 $n$ 阶行列式的计算降为 $n-1$ 阶行列式的计算，实现了降阶。当某行（列）有较多零元素时，展开特别方便。

3. 代数余子式的重要性质

3.1 异行（列）代数余子式乘积之和为零

定理：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。

$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0(i\ne j)$

$a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=0(i\ne j)$

证明思路：$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}$ 相当于将行列式第 $j$ 行替换为第 $i$ 行后按第 $j$ 行展开，此时行列式有两行相同，值为零。

3.2 综合公式

${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

${\sum }_{k=1}^n{a}_{ki}{A}_{kj}=\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

用克罗内克符号（Kronecker delta）表示：

${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=|A|\cdot {\delta }_{ij}$

4. 展开定理的应用

4.1 选择零元素多的行（列）展开

示例：计算 $\left|\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 1& 2& 2& 0\\ 4& 3& 1& 3\end{array}\right|$

按第一行展开：

$=3\times \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 2& 0\\ 3& 1& 3\end{array}\right|=3\times 1\times \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right|=3\times 1\times 6=18$

4.2 先化简再展开

示例：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 5\\ 2& 5& 8\end{array}\right|$

$\stackrel{r_2-r_1,r_3-2r_1}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=0$

（第2行与第3行相同）

4.3 利用代数余子式求和

示例：设 $|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$，求 $A_{11}+A_{12}+A_{13}$。

由展开定理：$1\cdot A_{11}+2\cdot A_{12}+3\cdot A_{13}=|A|$

但我们需要的是 $A_{11}+A_{12}+A_{13}$，这相当于将第一行替换为 $(1,1,1)$ 后的行列式：

$A_{11}+A_{12}+A_{13}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=0$

4.4 求代数余子式的线性组合

关键技巧：$k_1{A}_{i1}+k_2{A}_{i2}+\cdots +k_n{A}_{in}$ 等于将第 $i$ 行替换为 $(k_1,k_2,\dots ,k_n)$ 后的行列式。

示例：设 $D=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|$，求 $2A_{21}+A_{22}+3A_{23}$。

这等于将第二行替换为 $(2,1,3)$ 后的行列式：

$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=0$

（第1行与第2行相同）

5. 递推法与展开定理

对于具有递推结构的行列式，展开定理可以建立递推关系。

示例：计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & 0& 0\\ c& a& b& \cdots & 0& 0\\ 0& c& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b\\ 0& 0& 0& \cdots & c& a\end{array}\right|$（三对角行列式）

按第一行展开：

$D_n=a\cdot D_{n-1}-b\cdot c\cdot D_{n-2}$

这是一个二阶线性递推关系，特征方程为 $t^2-at+bc=0$。

当 $a^2-4bc>0$ 时，设特征根为 $t_1,t_2$，则 $D_n=C_1{t}_1^n+C_2{t}_2^n$。

当 $a^2=4bc$ 时，$D_n=(C_1+C_{2}n)t^n$，其中 $t=a/2$。