行列式计算方法

1. 化上三角法

1.1 方法原理

利用行列式的性质六（行倍加不变），将行列式化为上三角行列式，然后取主对角线元素之积。

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\stackrel{\text{行变换}}{\to }\left|\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ 0& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|=b_{11}{b}_{22}\cdots b_{nn}$

1.2 计算步骤

1. 若 $a_{11}=0$，交换行（列）使 $a_{11}\ne 0$（注意变号）
2. 用第一行消去下方元素：$r_i-\frac{a_{i1}}{a_{11}}{r}_1$
3. 对右下角的 $(n-1)$ 阶子式重复上述过程
4. 最终化为上三角，取对角线之积

示例：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 7\\ 3& 7& 12\end{array}\right|$

$\stackrel{r_2-2r_1,r_3-3r_1}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 3\end{array}\right|\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right|=1\times 1\times 2=2$

2. 范德蒙德行列式

2.1 定义

$n$ 阶范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）为：

$V_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$

2.2 展开形式

$V_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots (x_n-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)\cdots (x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})$

共有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个因子。

2.3 证明思路

从最后一行开始，每行减去上一行的 $x_1$ 倍：

$V_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 0& x_2-x_1& \cdots & x_n-x_1\\ 0& x_2(x_2-x_1)& \cdots & x_n(x_n-x_1)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& x_2^{n-2}(x_2-x_1)& \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1)\end{array}\right|$

按第一列展开，再提取各列公因子：

$V_n={\prod }_{i=2}^n(x_i-x_1)\cdot V_{n-1}(x_2,\dots ,x_n)$

递推即得。

2.4 应用

示例：计算 $\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 9& 16\\ 1& 8& 27& 64\end{array}\right|$

这是 $x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$ 的范德蒙德行列式：

$V_4=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\times 2\times 3\times 1\times 2\times 1=12$

3. 拉普拉斯展开

3.1 定义

拉普拉斯展开是按行（列）展开定理的推广，允许同时按多行（列）展开。

定理：在 $n$ 阶行列式 $|A|$ 中，任意取定 $k$ 行（列）（$1\le k<n$），由这 $k$ 行（列）元素所组成的一切 $k$ 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于 $|A|$。

$|A|={\sum }_{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}{M}_{j_1{j}_2\cdots j_k}\cdot A_{j_1{j}_2\cdots j_k}$

其中 $M_{j_1{j}_2\cdots j_k}$ 是由取定的 $k$ 行和第 $j_1,j_2,\dots ,j_k$ 列交叉元素组成的 $k$ 阶子式，$A_{j_1{j}_2\cdots j_k}$ 是其代数余子式。

3.2 应用场景

当行列式中某些行（列）含有较多零元素，或具有分块结构时，拉普拉斯展开特别有效。

示例：计算 $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0\\ 0& 0& 5& 6\\ 0& 0& 7& 8\end{array}\right|$

按前两行进行拉普拉斯展开，非零子式只有 $M_{12,12}$：

$=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right|=(4-6)(40-42)=(-2)(-2)=4$

一般地，分块对角行列式：

$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$

4. 递推法

4.1 方法原理

对具有规律性结构的行列式，通过展开建立递推关系，然后求解递推关系。

4.2 典型示例

箭形行列式：

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_2& b_3& \cdots & b_n\\ c_2& a_2& 0& \cdots & 0\\ c_3& 0& a_3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_n& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|$

解法：各列提取 $a_i$ 后（$i\ge 2$），将各列的适当倍数加到第一列，消去 $c_i$：

$D_n={\prod }_{i=2}^n{a}_i\cdot \left(a_1-{\sum }_{i=2}^n\frac{b_i{c}_i}{a_i}\right)$

5. 加边法（升阶法）

5.1 方法原理

在原行列式基础上添加一行一列，使新行列式更容易计算，且新行列式等于原行列式。

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& \ast & \ast & \cdots & \ast \\ 0& & & & \\ 0& & D_n& & \\ ⋮& & & & \\ 0& & & & \end{array}\right|$

5.2 典型示例

计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$（$a_i\ne 0$）

解法：加边

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$

第一行乘 $(-1)$ 加到各行：

$=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ -1& a_1& 0& \cdots & 0\\ -1& 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -1& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|$

各列除以 $a_i$ 后，将各列加到第一列：

$={\prod }_{i=1}^n{a}_i\cdot \left|\begin{array}{cccc}1+{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}& \frac{1}{a_1}& \cdots & \frac{1}{a_n}\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|$

$={\prod }_{i=1}^n{a}_i\cdot \left(1+{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)$

6. 数学归纳法

6.1 方法步骤

1. 通过低阶情形猜测行列式的值
2. 用数学归纳法证明

示例：证明 $D_n={\left|\begin{array}{ccccc}a& -1& 0& \cdots & 0\\ 0& a& -1& \cdots & 0\\ 0& 0& a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a\end{array}\right|}_{n\times n}=a^n$

这是上三角行列式，显然 $D_n=a^n$。

7. 特征值法

7.1 方法原理

若 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$。

7.2 应用

对于某些特殊矩阵，求特征值比直接计算行列式更方便。

示例：计算 $|A|$，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$

$A$ 的特征多项式：$|\lambda I-A|=(\lambda -1{)}^2(\lambda -4)$

特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，${\lambda }_3=4$，故 $|A|=1\times 1\times 4=4$。

8. 计算方法选择指南