解的存在性判定

1. 线性方程组的基本概念

1.1 一般形式

含有 $m$ 个方程、$n$ 个未知量的线性方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

矩阵形式：$Ax=b$

• 系数矩阵：$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$
• 增广矩阵：$(A|b)$
• 齐次方程组：$b=0$，即 $Ax=0$
• 非齐次方程组：$b\ne 0$，即 $Ax=b$

1.2 解的分类

线性方程组的解有三种情况：

1. 无解：方程组矛盾
2. 唯一解：恰好一组解
3. 无穷多解：有无穷多组解

2. 解的存在性判定定理

2.1 Kronecker-Capelli 定理

定理：线性方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩：

$r(A)=r(A|b)$

2.2 证明

必要性：若 $Ax=b$ 有解 $x_0$，则 $b=A{x}_0$，即 $b$ 是 $A$ 的列向量的线性组合，故 $b$ 加入 $A$ 的列向量组不增加秩，$r(A)=r(A|b)$。

充分性：若 $r(A)=r(A|b)=r$，则 $b$ 可由 $A$ 的列向量线性表示，即存在 $x_0$ 使得 $A{x}_0=b$。

2.3 解的数量判定

当 $r(A)=r(A|b)=r$ 时：

综合判定：

$\{\begin{array}{ll}r(A)<r(A|b)& \text{无解}\\ r(A)=r(A|b)=n& \text{唯一解}\\ r(A)=r(A|b)<n& \text{无穷多解}\end{array}$

3. 齐次线性方程组的判定

3.1 基本结论

齐次方程组 $Ax=0$ 一定有解（至少有零解）。

3.2 非零解的判定

$Ax=0\text{ 有非零解}⟺r(A)<n⟺|A|=0\text{（当 }m=n\text{ 时）}$

3.3 特殊情形

• 当 $m<n$（方程个数少于未知量个数）时，$Ax=0$ 一定有非零解
• 当 $m=n$ 时，$Ax=0$ 有非零解 $⟺|A|=0$
• 当 $m>n$ 时，$Ax=0$ 可能有非零解也可能只有零解

4. 判定方法

4.1 秩判定法

对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形，比较 $r(A)$ 和 $r(A|b)$。

示例：判断方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ 2x_1+3x_2+x_3=3\\ x_1+2x_2=2\end{array}$ 的解的情况。

$(A|b)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 1& 3\\ 1& 2& 0& 2\end{array}\right)\stackrel{r_2-2r_1,r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 1& -1& 1\end{array}\right)$

$\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$r(A)=r(A|b)=2<3$，有无穷多解。

4.2 行列式判定法（方阵情形）

当 $m=n$ 时：

• $|A|\ne 0$：唯一解 $x=A^{-1}b$
• $|A|=0$：无解或无穷多解，需进一步用秩判定

4.3 含参数的判定

示例：讨论方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2+\lambda x_3={\lambda }^2\end{array}$ 的解的情况。

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 0& 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2$

当 $\lambda \ne 1$ 时：$|A|\ne 0$，唯一解。

当 $\lambda =1$ 时：$|A|=0$，三个方程相同：$x_1+x_2+x_3=1$。

$r(A)=r(A|b)=1<3$，有无穷多解。

5. 解的几何意义

5.1 二元方程组

每个方程表示平面上的一条直线：

• 唯一解：两直线相交于一点
• 无穷多解：两直线重合
• 无解：两直线平行

5.2 三元方程组

每个方程表示三维空间中的一个平面：

• 唯一解：三个平面交于一点
• 无穷多解：三个平面交于一条直线或重合
• 无解：三个平面无公共交点

5.3 一般情形

$Ax=b$ 的解集是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个仿射子空间（平移后的向量空间）：

• 有解时，解集的维数为 $n-r(A)$
• 无解时，解集为空集

6. 解的存在性与矩阵的列空间

6.1 列空间观点

$Ax=b$ 有解 $⟺b\in \text{Col}(A)$

即 $b$ 属于 $A$ 的列空间（$A$ 的列向量的线性组合的全体）。

6.2 四个基本子空间

对于 $m\times n$ 矩阵 $A$：

6.3 秩-零度定理

$\dim (\text{Col}(A))+\dim (\text{Nul}(A))=n$

即 $r(A)+\dim (\text{Nul}(A))=n$。