解的结构

1. 解的结构总览

1.1 齐次方程组的解结构

$Ax=0$ 的解集 $S_0$ 构成向量空间（零空间），其结构为：

$S_0=\{k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_t{\mathbf{\xi }}_t\mid k_i\in \mathbb{R}\}$

其中 ${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t$ 是基础解系，$t=n-r(A)$。

1.2 非齐次方程组的解结构

$Ax=b$ 的解集 $S$ 是仿射子空间：

$S={\mathbf{\eta }}^{\ast }+S_0=\{{\mathbf{\eta }}^{\ast }+\mathbf{\xi }\mid \mathbf{\xi }\in S_0\}$

其中 ${\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 是 $Ax=b$ 的特解，$S_0$ 是导出组 $Ax=0$ 的解空间。

2. 通解、特解与基础解系的关系

2.1 核心关系图

Ax = b 的通解 = 特解 + 导出组的通解
     x    =  η*  +  k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + ... + kₜξₜ

2.2 各部分的作用

2.3 特解的选取对通解的影响

设 ${\mathbf{\eta }}_1^{\ast }$ 和 ${\mathbf{\eta }}_2^{\ast }$ 是 $Ax=b$ 的两个不同特解，则：

${\mathbf{\eta }}_2^{\ast }={\mathbf{\eta }}_1^{\ast }+{\mathbf{\xi }}_0$

其中 ${\mathbf{\xi }}_0\in S_0$。两个通解表达式等价：

${\mathbf{\eta }}_2^{\ast }+\sum k_i{\mathbf{\xi }}_i={\mathbf{\eta }}_1^{\ast }+{\mathbf{\xi }}_0+\sum k_i{\mathbf{\xi }}_i$

由于 ${\mathbf{\xi }}_0$ 可由基础解系表示，故两个通解描述的是同一个解集。

3. 解空间的维数

3.1 维数公式

$\dim (S_0)=n-r(A)$

3.2 秩-零度定理

$r(A)+\dim (N(A))=n$

这是线性代数中最基本的维数关系之一。

3.3 推广

对于 $m\times n$ 矩阵 $A$：

$\dim (\text{Row}(A))+\dim (N(A))=n$

$\dim (\text{Col}(A))+\dim (N(A^T))=m$

4. 解集的几何描述

4.1 齐次方程组

$Ax=0$ 的解集是 ${\mathbb{R}}^n$ 中过原点的 $t$ 维子空间（$t=n-r(A)$）。

• $t=0$：解集为单点 $\{0\}$
• $t=1$：解集为过原点的直线
• $t=2$：解集为过原点的平面
• $t=n$：解集为整个 ${\mathbb{R}}^n$（$A=O$ 时）

4.2 非齐次方程组

$Ax=b$ 的解集是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $t$ 维仿射子空间（平移后的子空间）。

• $t=0$：解集为单点（唯一解）
• $t=1$：解集为不过原点的直线
• $t=2$：解集为不过原点的平面

4.3 示例

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\end{array}$

$r(A)=1$，$n=3$，$\dim (S_0)=2$。

解集是 ${\mathbb{R}}^3$ 中不过原点的平面 $x+y+z=1$。

特解：$(1,0,0{)}^T$，基础解系：$(-1,1,0{)}^T$，$(-1,0,1{)}^T$。

5. 解的结构与矩阵分解

5.1 与 SVD 的关系

设 $A=U\Sigma V^T$ 为 $A$ 的奇异值分解，则：

• $N(A)=\text{span}\{v_{r+1},\dots ,v_n\}$（$V$ 的后 $n-r$ 列）
• $\text{Col}(A)=\text{span}\{u_1,\dots ,u_r\}$（$U$ 的前 $r$ 列）

5.2 与特征值的关系

若 $A$ 可对角化为 $A=P\Lambda P^{-1}$，则：

• $N(A)$ 由对应零特征值的特征向量张成
• $Ax=b$ 的解可通过对角化后求解

6. 解的稳定性

6.1 条件数

矩阵 $A$ 的条件数定义为：

$\kappa (A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert$

条件数衡量了 $Ax=b$ 的解对 $b$ 的扰动的敏感程度。

• $\kappa (A)\approx 1$：良态问题，解稳定
• $\kappa (A)\gg 1$：病态问题，解不稳定

6.2 扰动分析

若 $b$ 有扰动 $\delta b$，则解的扰动 $\delta x$ 满足：

$\frac{\Vert \delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \kappa (A)\cdot \frac{\Vert \delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$

7. 典型例题

例1

设 $A$ 为 $3\times 4$ 矩阵，${\mathbf{\eta }}_1=(1,0,1,0{)}^T$，${\mathbf{\eta }}_2=(0,1,0,1{)}^T$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，${\mathbf{\eta }}^{\ast }=(1,1,1,1{)}^T$ 是 $Ax=b$ 的特解，求 $Ax=b$ 的通解。

解：通解 $x={\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\eta }}_1+k_2{\mathbf{\eta }}_2$

$x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+k_1\\ 1+k_2\\ 1+k_1\\ 1+k_2\end{array}\right)$

例2

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r$，证明 $Ax=b$ 的任意 $n-r+1$ 个解线性相关。

证明：设 ${\mathbf{\eta }}_0$ 为特解，${\mathbf{\eta }}_i={\mathbf{\eta }}_0+{\mathbf{\xi }}_i$（$i=1,\dots ,n-r$），其中 ${\mathbf{\xi }}_i$ 是基础解系。

考虑 $n-r+1$ 个解 ${\mathbf{\eta }}_0,{\mathbf{\eta }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}_{n-r}$：

$k_0{\mathbf{\eta }}_0+k_1{\mathbf{\eta }}_1+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\eta }}_{n-r}=0$

$(k_0+k_1+\cdots +k_{n-r}){\mathbf{\eta }}_0+k_1{\mathbf{\xi }}_1+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}=0$

取 $k_0=1,k_1=k_2=\cdots =k_{n-r}=-\frac{1}{n-r}$，则 $k_0+\sum k_i=0$，且 $\sum k_i{\mathbf{\xi }}_i$ 是 $Ax=0$ 的解。

但需要更仔细的分析。实际上，$n-r+1$ 个解向量 ${\mathbf{\eta }}_0,{\mathbf{\eta }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}_{n-r}$ 在 $n$ 维空间中，它们位于一个 $n-r$ 维仿射子空间上，故必线性相关。