逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

1.1 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得：

$AB=BA=I$

则称 $A$ 可逆，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $B=A^{-1}$。

1.2 逆矩阵的唯一性

若 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一。

证明：设 $B_1$ 和 $B_2$ 都是 $A$ 的逆矩阵，则：

$B_1=B_{1}I=B_1(A{B}_2)=(B_{1}A)B_2=I{B}_2=B_2$

1.3 可逆的等价条件

以下条件等价：

1. $A$ 可逆
2. $|A|\ne 0$（$A$ 非奇异）
3. $A$ 的秩 $r(A)=n$（$A$ 满秩）
4. $Ax=0$ 只有零解
5. $Ax=b$ 对任意 $b$ 有唯一解
6. $A$ 的行（列）向量线性无关
7. $A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积
8. $A$ 的特征值全不为零

2. 伴随矩阵

2.1 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，则 $A$ 的伴随矩阵为：

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$

注意：伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，即 $(A^{\ast }{)}_{ij}=A_{ji}$。

2.2 基本关系

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I$

证明：由行列式展开定理和代数余子式性质：

$(A{A}^{\ast }{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}=|A|{\delta }_{ij}$

3. 伴随矩阵法求逆

3.1 公式

当 $|A|\ne 0$ 时：

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

3.2 求逆步骤

1. 计算 $|A|$，验证 $|A|\ne 0$
2. 求所有 $A_{ij}$（共 $n^2$ 个代数余子式）
3. 构造伴随矩阵 $A^{\ast }$
4. $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

3.3 二阶矩阵求逆公式

设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，$|A|=ad-bc\ne 0$，则：

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

口诀：主对角线交换，副对角线变号，除以行列式。

示例：求 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

$|A|=4-6=-2$

$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3/2& -1/2\end{array}\right)$

3.4 三阶矩阵求逆示例

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$

$|A|=1(0-24)-2(0-20)+3(0-5)=-24+40-15=1$

计算各代数余子式后构造 $A^{\ast }$，则 $A^{-1}=A^{\ast }$。

4. 逆矩阵的运算性质

4.1 基本性质

1. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
3. $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$（$k\ne 0$）
4. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$（注意顺序反转）
5. $(A^k{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^k=A^{-k}$
6. $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}=\frac{1}{|A|}$

4.2 性质4的推广

$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}$

4.3 伴随矩阵的性质

1. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
2. $(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{A}{|A|}$（$|A|\ne 0$）
3. $(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$
4. $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$
5. $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$
6. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$（$n\ge 2$）

5. 矩阵方程的求解

5.1 基本类型

类型一：$AX=B$（$A$ 可逆）

$X=A^{-1}B$

类型二：$XA=B$（$A$ 可逆）

$X=B{A}^{-1}$

类型三：$AXB=C$（$A,B$ 可逆）

$X=A^{-1}C{B}^{-1}$

5.2 求解方法

方法一：逆矩阵法——直接用公式计算

方法二：初等变换法——对增广矩阵做行变换

对于 $AX=B$：$(A|B)\stackrel{\text{行变换}}{\to }(I|A^{-1}B)$

对于 $XA=B$：$\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)\stackrel{\text{列变换}}{\to }\left(\begin{array}{c}I\\ B{A}^{-1}\end{array}\right)$

5.3 示例

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，解矩阵方程 $AX=B$。

$|A|=5-6=-1$

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$

$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 4\\ 3& -2\end{array}\right)$

6. 逆矩阵的应用

6.1 解线性方程组

$Ax=b$，当 $A$ 可逆时，$x=A^{-1}b$。

6.2 判断矩阵可逆性

示例：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2-3A+2I=O$，证明 $A$ 可逆并求 $A^{-1}$。

由 $A^2-3A+2I=O$ 得 $A(A-3I)=-2I$，即 $A\cdot \frac{3I-A}{2}=I$。

故 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=\frac{3I-A}{2}$。

6.3 证明矩阵可逆的常用方法

1. 证明 $|A|\ne 0$
2. 找到矩阵 $B$ 使得 $AB=I$（或 $BA=I$）
3. 利用 $A$ 满足的多项式方程
4. 证明 $A$ 是初等矩阵的乘积