齐次线性方程组

1. 齐次线性方程组的基本性质

1.1 定义

齐次线性方程组的形式为 $Ax=0$，即：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$

1.2 基本性质

1. 零解：$x=0$ 一定是齐次方程组的解
2. 解的线性组合：若 $x_1,x_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $k_1{x}_1+k_2{x}_2$ 也是解（$k_1,k_2$ 为任意常数）
3. 解集构成向量空间：$Ax=0$ 的全体解构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间，称为解空间或零空间 $N(A)$

1.3 非零解的存在条件

$Ax=0\text{ 有非零解}⟺r(A)<n$

特别地，当 $m<n$ 时，$Ax=0$ 一定有非零解。

2. 基础解系

2.1 定义

齐次方程组 $Ax=0$ 的解向量 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t$ 称为基础解系，若：

1. ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t$ 线性无关
2. $Ax=0$ 的任意解都可以由 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t$ 线性表示

基础解系就是解空间的一组基。

2.2 基础解系所含向量的个数

$t=n-r(A)$

即基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。

2.3 维数定理

$\dim (N(A))=n-r(A)$

解空间的维数等于自由变量的个数。

3. 基础解系的求法

3.1 步骤

1. 将系数矩阵 $A$ 化为行最简形
2. 确定主变量（主元对应的未知量）和自由变量（非主元对应的未知量）
3. 令自由变量依次取 $(1,0,\dots ,0{)}^T$，$(0,1,\dots ,0{)}^T$，…，$(0,0,\dots ,1{)}^T$
4. 回代求出主变量的值，得到基础解系

3.2 示例

求 $Ax=0$ 的基础解系，其中 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 2& 4& 6& 2\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right)$

步骤1：化行最简形

$A\stackrel{r_2-2r_1,r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -2& 0\end{array}\right)\stackrel{r_2\leftrightarrow r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& 0& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$\stackrel{-\frac{1}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_1-3r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

步骤2：$r(A)=2$，主变量为 $x_1,x_3$，自由变量为 $x_2,x_4$。

步骤3：基础解系含 $4-2=2$ 个向量。

令 $(x_2,x_4)=(1,0)$：$x_3=0$，$x_1=-2$，得 ${\mathbf{\xi }}_1=(-2,1,0,0{)}^T$

令 $(x_2,x_4)=(0,1)$：$x_3=0$，$x_1=-1$，得 ${\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,0,1{)}^T$

步骤4：基础解系为 ${\mathbf{\xi }}_1=(-2,1,0,0{)}^T$，${\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,0,1{)}^T$。

3.3 通解

$x=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2(k_1,k_2\text{ 为任意常数})$

4. 基础解系的性质

4.1 唯一性

基础解系不唯一，但任意两个基础解系所含向量个数相同，且它们等价（可以互相线性表示）。

4.2 判定基础解系的方法

设 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t$ 都是 $Ax=0$ 的解，则它们构成基础解系当且仅当：

1. 它们线性无关
2. $t=n-r(A)$

注意：条件2可以用”它们线性无关”替代”它们线性无关且 $t=n-r(A)$“——只要验证线性无关且个数正确即可。

4.3 基础解系的线性变换

若 ${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t$ 是基础解系，$C$ 为 $t$ 阶可逆矩阵，则 $({\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t)C$ 的列向量也是基础解系。

5. 解空间的结构

5.1 解空间的维数

$\dim (N(A))=n-r(A)$

5.2 解空间与列空间的关系

${\mathbb{R}}^n=\text{Row}(A)\oplus N(A)$

行空间与零空间互为正交补（在标准内积下）。

5.3 解空间的基变换

设 $B_1=\{{\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t\}$ 和 $B_2=\{{\mathbf{\eta }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}_t\}$ 是两组基础解系，则存在可逆矩阵 $P$ 使得：

$({\mathbf{\eta }}_1,\dots ,{\mathbf{\eta }}_t)=({\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_t)P$

6. 典型例题

例1

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r$，证明 $Ax=0$ 的基础解系含 $n-r$ 个向量。

证明：将 $A$ 化为行最简形，有 $r$ 个主元，$n-r$ 个自由变量。每个自由变量对应一个解向量，共 $n-r$ 个，它们线性无关且任意解可由它们表示。

例2

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=0$，$A_{11}\ne 0$（$A_{11}$ 为 $a_{11}$ 的代数余子式），求 $Ax=0$ 的通解。

解：$|A|=0$ 且 $A_{11}\ne 0$，故 $r(A)=n-1$，基础解系含 $1$ 个向量。

由 $A{A}^{\ast }=|A|I=O$，$A^{\ast }$ 的第一列 $(A_{11},A_{21},\dots ,A_{n1}{)}^T$ 是 $Ax=0$ 的解。

又 $A_{11}\ne 0$，故该解非零，可作为基础解系。

通解：$x=k(A_{11},A_{21},\dots ,A_{n1}{)}^T$（$k$ 为任意常数）。

例3

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=A$，$r(A)=r$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量的个数。

解：$Ax=0$ 的基础解系含 $n-r(A)=n-r$ 个向量。