三大分布

1. χ² 分布

1.1 定义

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，$X_i \sim N(0, 1)$，则

$\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2$

服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记作 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$。

1.2 密度函数

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

$\chi^2(n)$ 分布实际上是 $\Gamma\left(\dfrac{n}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ 分布。

1.3 性质

1. 期望与方差：$E(\chi^2) = n$，$D(\chi^2) = 2n$

2. 可加性：若 $\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)$，$\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)$，且独立，则

$\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$

3. 与正态分布的关系：$\chi^2(n)$ 是 $n$ 个独立标准正态变量平方和的分布

4. 渐近正态性：当 $n$ 充分大时，$\chi^2(n)$ 近似 $N(n, 2n)$

5. 与样本方差的关系：设 $X_1, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

且 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

1.4 上侧分位数

$\chi^2_\alpha(n)$ 满足 $P(\chi^2(n) > \chi^2_\alpha(n)) = \alpha$。

2. t 分布

2.1 定义

设 $X \sim N(0, 1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$

服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布（学生分布），记作 $T \sim t(n)$。

2.2 密度函数

$f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-(n+1)/2}, \quad -\infty < x < +\infty$

2.3 性质

1. 对称性：$t$ 分布关于 $x = 0$ 对称

2. 期望与方差：

   • 当 $n > 1$ 时，$E(T) = 0$
   • 当 $n > 2$ 时，$D(T) = \dfrac{n}{n-2}$

3. 与标准正态的关系：当 $n \to \infty$ 时，$t(n) \to N(0, 1)$

   当 $n \geq 30$ 时，$t$ 分布与标准正态分布很接近。

4. 与样本均值的关系：设 $X_1, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

5. 尾部比正态分布厚：$t$ 分布的峰度大于 0（尖峰厚尾），自由度越小越明显

2.4 上侧分位数

$t_\alpha(n)$ 满足 $P(t(n) > t_\alpha(n)) = \alpha$。

由对称性：$t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)$。

3. F 分布

3.1 定义

设 $U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，则

$F = \frac{U/n_1}{V/n_2}$

服从自由度为 $(n_1, n_2)$ 的 $F$ 分布，记作 $F \sim F(n_1, n_2)$。

3.2 密度函数

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{n_1/2} x^{n_1/2 - 1} \left(1 + \frac{n_1}{n_2}x\right)^{-(n_1+n_2)/2}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

3.3 性质

1. 期望与方差：

   • 当 $n_2 > 2$ 时，$E(F) = \dfrac{n_2}{n_2 - 2}$
   • 当 $n_2 > 4$ 时，$D(F) = \dfrac{2n_2^2(n_1 + n_2 - 2)}{n_1(n_2 - 2)^2(n_2 - 4)}$

2. 倒数关系：若 $F \sim F(n_1, n_2)$，则 $\dfrac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)$

3. 与 $t$ 分布的关系：若 $T \sim t(n)$，则 $T^2 \sim F(1, n)$

4. 与样本方差比的关系：设 $X_1, \cdots, X_{n_1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y_1, \cdots, Y_{n_2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，两样本独立，则

$F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)$

3.4 上侧分位数

$F_\alpha(n_1, n_2)$ 满足 $P(F(n_1, n_2) > F_\alpha(n_1, n_2)) = \alpha$。

由倒数关系：

$F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$

4. 三大分布的关系

4.1 生成关系

$N(0,1) \xrightarrow{\text{平方和}} \chi^2(n) \xrightarrow{\text{比值}} t(n) \text{ 和 } F(n_1, n_2)$

具体地：

• $n$ 个 $N(0,1)$ 的平方和 $\to \chi^2(n)$
• $\dfrac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n)/n}} \to t(n)$
• $\dfrac{\chi^2(n_1)/n_1}{\chi^2(n_2)/n_2} \to F(n_1, n_2)$
• $t^2(n) = F(1, n)$

4.2 在统计推断中的角色