常用分布

1. 六大常用分布总览

2. 二项分布 $B(n, p)$

2.1 完整定义

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots, n$

2.2 矩母函数

$M_X(t) = (pe^t + 1 - p)^n$

2.3 特征函数

$\varphi_X(t) = (pe^{it} + 1 - p)^n$

2.4 与其他分布的关系

• 当 $n = 1$ 时，退化为 0-1 分布
• 当 $n \to \infty, p \to 0, np = \lambda$ 时，近似为泊松分布
• 当 $n$ 较大时，由中心极限定理，近似为正态分布 $N(np, np(1-p))$

2.5 典型应用

产品质量抽检、考试通过率、临床试验成功率等。

3. 泊松分布 $P(\lambda)$

3.1 完整定义

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots$

3.2 矩母函数

$M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$

3.3 特征函数

$\varphi_X(t) = e^{\lambda(e^{it} - 1)}$

3.4 与其他分布的关系

• 泊松分布可由二项分布取极限得到
• 泊松过程中时间间隔服从指数分布
• 当 $\lambda$ 较大时，近似为正态分布 $N(\lambda, \lambda)$

3.5 泊松过程

设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 为计数过程，若满足：

1. $N(0) = 0$
2. 独立增量
3. 对任意 $s, t > 0$，$N(t+s) - N(s) \sim P(\lambda t)$

则称 $\{N(t)\}$ 为参数 $\lambda$ 的泊松过程。

4. 几何分布 $G(p)$

4.1 完整定义

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \cdots$

4.2 期望与方差的推导

$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$

$E(X^2) = \frac{2-p}{p^2}, \quad D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1-p}{p^2}$

4.3 无记忆性

$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$

几何分布是唯一具有无记忆性的取正整数值的离散分布。

4.4 变体

有时几何分布定义为首次成功前的失败次数：

$P(Y = k) = (1-p)^k p, \quad k = 0, 1, 2, \cdots$

此时 $Y = X - 1$，$E(Y) = \dfrac{1-p}{p}$。

5. 均匀分布 $U(a, b)$

5.1 完整定义

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

5.2 矩母函数

$M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}, \quad t \neq 0$

5.3 高阶矩

$E(X^n) = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}$

5.4 标准均匀分布

$U(0,1)$ 称为标准均匀分布，是随机数生成的基础。

6. 指数分布 $\text{Exp}(\lambda)$

6.1 完整定义

$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

6.2 矩母函数

$M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}, \quad t < \lambda$

6.3 高阶矩

$E(X^n) = \frac{n!}{\lambda^n}$

6.4 无记忆性

$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$

6.5 与其他分布的关系

• 指数分布是伽马分布 $\Gamma(1, \lambda)$ 的特例
• $n$ 个独立同分布 $\text{Exp}(\lambda)$ 之和服从 $\Gamma(n, \lambda)$
• 指数分布与泊松过程密切相关

6.6 失效率函数

$h(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}} = \lambda$

指数分布的失效率为常数，说明”旧的和新的一样”（无老化效应）。

7. 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$

7.1 完整定义

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$

7.2 矩母函数

$M_X(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

7.3 特征函数

$\varphi_X(t) = e^{i\mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

7.4 中心矩

对于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$：

• 奇数阶中心矩为零：$E[(X - \mu)^{2k-1}] = 0$
• 偶数阶中心矩：$E[(X - \mu)^{2k}] = (2k-1)!! \cdot \sigma^{2k}$

其中 $(2k-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)$。

7.5 标准正态分布表

常用值：

7.6 正态分布的重要性

1. 中心极限定理：大量独立随机因素综合作用的结果近似正态
2. 统计推断：许多统计方法基于正态假设
3. 误差分析：测量误差通常服从正态分布
4. 自然现象：大量自然现象近似正态

8. 分布之间的关系图

$\text{伯努利试验} \xrightarrow{n \text{ 次独立重复}} B(n, p) \xrightarrow{n \to \infty, np \to \lambda} P(\lambda) \xrightarrow{\lambda \to \infty} N(\lambda, \lambda)$

$B(n, p) \xrightarrow{n \to \infty} N(np, np(1-p))$

$\text{泊松过程} \longrightarrow P(\lambda t) \quad \text{与} \quad \text{Exp}(\lambda)$

$\text{Exp}(\lambda) \xrightarrow{n \text{ 个之和}} \Gamma(n, \lambda)$

$U(0,1) \xrightarrow{F^{-1}} \text{任意分布}$