离散型随机变量

1. 随机变量的概念

1.1 随机变量的定义

设 $\Omega$ 为样本空间，若对每个 $\omega \in \Omega$，都有一个实数 $X(\omega)$ 与之对应，且对任意实数 $x$，$\{\omega \mid X(\omega) \leq x\}$ 是一个事件，则称 $X$ 为随机变量。

随机变量用大写字母 $X, Y, Z$ 等表示，其取值用小写字母 $x, y, z$ 等表示。

1.2 随机变量的分类

• 离散型随机变量：取值为有限个或可列无限个
• 连续型随机变量：取值充满某个区间
• 混合型随机变量：既有离散部分又有连续部分

2. 离散型随机变量的分布律

2.1 分布律的定义

设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_1, x_2, \cdots$，则称

$P(X = x_k) = p_k, \quad k = 1, 2, \cdots$

为 $X$ 的分布律（或概率分布）。

分布律也可以用表格表示：

2.2 分布律的性质

1. 非负性：$p_k \geq 0$（$k = 1, 2, \cdots$）
2. 规范性：$\sum_{k=1}^{\infty} p_k = 1$

3. 0-1 分布（伯努利分布）

3.1 定义

若随机变量 $X$ 只取 0 和 1 两个值，且

$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p \quad (0 < p < 1)$

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的 0-1 分布（伯努利分布），记作 $X \sim B(1, p)$ 或 $X \sim \text{Bernoulli}(p)$。

3.2 应用场景

0-1 分布描述一次伯努利试验的结果：

• 抛硬币：正面（1）或反面（0）
• 产品检验：合格（1）或不合格（0）
• 命中检测：命中（1）或未命中（0）

4. 二项分布

4.1 定义

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots, n$

则称 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，记作 $X \sim B(n, p)$。

4.2 背景

二项分布描述 $n$ 重伯努利试验中成功次数的分布。设每次试验成功的概率为 $p$，独立重复 $n$ 次试验，成功次数 $X \sim B(n, p)$。

4.3 性质

1. 最可能值：使 $P(X = k)$ 最大的 $k$ 值，记作 $k_0$。

   • 若 $(n+1)p$ 不是整数，则 $k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor$
   • 若 $(n+1)p$ 是整数，则 $k_0 = (n+1)p$ 和 $k_0 = (n+1)p - 1$ 都是最大值点

2. 期望与方差：$E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$

3. 可加性：若 $X \sim B(n_1, p)$，$Y \sim B(n_2, p)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X + Y \sim B(n_1 + n_2, p)$

4.4 二项分布的计算

例题：某批产品次品率为 0.05，从中任取 10 件，求恰好有 2 件次品的概率。

解：设 $X$ 为次品数，$X \sim B(10, 0.05)$。

$P(X = 2) = \binom{10}{2}(0.05)^2(0.95)^8 = 45 \times 0.0025 \times 0.6634 \approx 0.0746$

5. 泊松分布

5.1 定义

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots$

其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记作 $X \sim P(\lambda)$ 或 $X \sim \pi(\lambda)$。

5.2 泊松分布的应用

泊松分布描述在单位时间（或单位面积、单位体积等）内稀有事件发生次数的分布：

• 单位时间内电话交换台的呼叫次数
• 单位面积上的疵点数
• 单位时间内放射性物质发射的粒子数
• 某路口单位时间内通过的车辆数

5.3 泊松分布的性质

1. 期望与方差：$E(X) = \lambda$，$D(X) = \lambda$

2. 可加性：若 $X \sim P(\lambda_1)$，$Y \sim P(\lambda_2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X + Y \sim P(\lambda_1 + \lambda_2)$

3. 最可能值：

   • 若 $\lambda$ 不是整数，$k_0 = \lfloor \lambda \rfloor$
   • 若 $\lambda$ 是整数，$k_0 = \lambda$ 和 $k_0 = \lambda - 1$ 都是最大值点

5.4 泊松定理（泊松近似）

设 $\lambda > 0$，$n$ 为正整数，$np_n = \lambda$，则对任意非负整数 $k$，有

$\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

应用：当 $n$ 较大、$p$ 较小（一般 $n \geq 20, p \leq 0.05$）时，可用泊松分布近似二项分布：

$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{(np)^k e^{-np}}{k!}$

5.5 泊松近似计算

例题：某工厂有 300 台同类型设备，各台设备独立工作，每台发生故障的概率为 0.01。求至少有 2 台设备同时发生故障的概率。

解：设 $X$ 为发生故障的设备数，$X \sim B(300, 0.01)$。

由于 $n = 300$ 较大，$p = 0.01$ 较小，用泊松近似，$\lambda = np = 3$。

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - e^{-3} - 3e^{-3} = 1 - 4e^{-3} \approx 1 - 0.1991 = 0.8009$

6. 其他离散分布

6.1 几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \cdots$

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记作 $X \sim G(p)$。

含义：在独立伯努利试验序列中，首次成功所需的试验次数。

无记忆性：$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$

6.2 超几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0, 1, \cdots, \min(M, n)$

则称 $X$ 服从参数为 $N, M, n$ 的超几何分布，记作 $X \sim H(N, M, n)$。

含义：从含 $M$ 个次品的 $N$ 件产品中不放回地取 $n$ 件，其中次品数的分布。

当 $N \to \infty$ 且 $\dfrac{M}{N} \to p$ 时，超几何分布近似于二项分布 $B(n, p)$。