分布函数

6 minIntermediate2026/6/14

分布函数的定义、性质、离散型与连续型随机变量的分布函数。

1. 分布函数的定义

1.1 定义

设 XX 是一个随机变量，xx 是任意实数，函数

F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x)

称为 XX 的分布函数（或累积分布函数，Cumulative Distribution Function，CDF）。

分布函数完整地描述了随机变量的概率分布规律。

1.2 分布函数的意义

分布函数 F(x)F(x) 表示随机变量 XX 取值不超过 xx 的概率。对于任意实数 x1<x2x_1 < x_2：

P(x1<X≤x2)=F(x2)−F(x1)P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1)

因此，知道了分布函数，就能计算 XX 落在任意区间内的概率。

2. 分布函数的性质

2.1 基本性质

  1. 单调不减：若 x1<x2x_1 < x_2，则 F(x1)≤F(x2)F(x_1) \leq F(x_2)

  2. 有界性：0≤F(x)≤10 \leq F(x) \leq 1

  3. 边界值：

F(−∞)=lim⁡x→−∞F(x)=0,F(+∞)=lim⁡x→+∞F(x)=1F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1

  1. 右连续：F(x+)=F(x)F(x^+) = F(x)，即 lim⁡t→x+F(t)=F(x)\lim_{t \to x^+} F(t) = F(x)

2.2 由分布函数计算概率

  1. P(X≤x)=F(x)P(X \leq x) = F(x)

  2. P(X>x)=1−F(x)P(X > x) = 1 - F(x)

  3. P(x1<X≤x2)=F(x2)−F(x1)P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1)

  4. P(X=x)=F(x)−F(x−)P(X = x) = F(x) - F(x^-)（F(x−)F(x^-) 为 FF 在 xx 处的左极限）

  5. P(X<x)=F(x−)P(X < x) = F(x^-)

  6. P(x1≤X≤x2)=F(x2)−F(x1−)P(x_1 \leq X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1^-)

  7. P(x1<X<x2)=F(x2−)−F(x1)P(x_1 < X < x_2) = F(x_2^-) - F(x_1)

2.3 分布函数与概率的对应

分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的取值点，跳跃高度等于该点的概率：

P(X=x0)=F(x0)−F(x0−)P(X = x_0) = F(x_0) - F(x_0^-)

  • 若 FF 在 x0x_0 处连续，则 P(X=x0)=0P(X = x_0) = 0
  • 若 FF 在 x0x_0 处有跳跃，则 P(X=x0)>0P(X = x_0) > 0

3. 离散型随机变量的分布函数

3.1 构造方法

设离散型随机变量 XX 的分布律为 P(X=xk)=pkP(X = x_k) = p_k（k=1,2,⋯k = 1, 2, \cdots），则

F(x)=∑xk≤xpkF(x) = \sum_{x_k \leq x} p_k

3.2 特征

离散型随机变量的分布函数是阶梯函数：

  • 在每个取值点 xkx_k 处有跳跃，跳跃高度为 pkp_k
  • 在相邻取值点之间为常数

3.3 示例

设 XX 的分布律为：

XX012
PP0.30.50.2

则分布函数为：

F(x)={0,x<00.3,0≤x<10.8,1≤x<21,x≥2F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0.3, & 0 \leq x < 1 \\ 0.8, & 1 \leq x < 2 \\ 1, & x \geq 2 \end{cases}

4. 连续型随机变量的分布函数

4.1 与密度函数的关系

若 XX 为连续型随机变量，密度函数为 f(x)f(x)，则

F(x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt

且在 f(x)f(x) 的连续点处

F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

4.2 特征

连续型随机变量的分布函数是连续函数，且在密度函数连续处可导。

4.3 示例

设 X∼U(0,1)X \sim U(0, 1)，则

F(x)={0,x<0x,0≤x<11,x≥1F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}

5. 分布函数的判定

5.1 判定准则

一个函数 F(x)F(x) 是某个随机变量的分布函数，当且仅当满足以下条件：

  1. 单调不减
  2. F(−∞)=0F(-\infty) = 0，F(+∞)=1F(+\infty) = 1
  3. 右连续

5.2 常见错误

  • 左连续而非右连续的函数不是分布函数
  • 不满足单调性的函数不是分布函数
  • 极限不为 0 和 1 的函数不是分布函数

6. 分布函数的应用

6.1 比较随机变量

若 FX(x)≥FY(x)F_X(x) \geq F_Y(x) 对所有 xx 成立，则 XX 随机小于 YY，即 XX 倾向于取更小的值。

6.2 分位数

设 F(x)F(x) 为随机变量 XX 的分布函数，对于 0<p<10 < p < 1，满足

F(xp)=pF(x_p) = p

的 xpx_p 称为 XX 的 pp 分位数（或下侧 pp 分位数）。

特别地：

  • x0.5x_{0.5}：中位数
  • x0.25x_{0.25}：下四分位数
  • x0.75x_{0.75}：上四分位数

6.3 逆变换法生成随机数

若 U∼U(0,1)U \sim U(0, 1)，则 X=F−1(U)X = F^{-1}(U) 的分布函数为 F(x)F(x)。

这是利用均匀随机数生成任意分布随机数的基本方法。

证明：

P(X≤x)=P(F−1(U)≤x)=P(U≤F(x))=F(x)P(X \leq x) = P(F^{-1}(U) \leq x) = P(U \leq F(x)) = F(x)