假设检验典型例题

1. Z 检验

例题1

某厂生产钢丝的抗拉强度服从正态分布 $N(\mu, 64)$，标准要求 $\mu \geq 110$。现抽取 16 根，$\bar{x} = 106$。在 $\alpha = 0.05$ 下检验钢丝是否达标。

解：

$H_0: \mu \geq 110$，$H_1: \mu < 110$

$Z = \frac{106 - 110}{8/4} = \frac{-4}{2} = -2$

$-z_{0.05} = -1.645$，$Z = -2 < -1.645$，拒绝 $H_0$。

钢丝抗拉强度不达标。

例题2

某市调查 400 户家庭，其中 180 户拥有汽车。在 $\alpha = 0.05$ 下检验该市家庭拥有汽车的比例是否为 50%。

解：

$H_0: p = 0.5$，$H_1: p \neq 0.5$

$\hat{p} = 0.45, \quad Z = \frac{0.45 - 0.5}{\sqrt{0.5 \times 0.5/400}} = \frac{-0.05}{0.025} = -2$

$z_{0.025} = 1.96$，$|Z| = 2 > 1.96$，拒绝 $H_0$。

拥有汽车的比例不是 50%。

2. t 检验

例题3

某品牌方便面标称每包净重 100g，抽取 9 包测得：99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 100.1, 100.7。在 $\alpha = 0.05$ 下检验净重是否符合标称。

解：

$H_0: \mu = 100$，$H_1: \mu \neq 100$

$\bar{x} = 99.78$，$s = 0.914$

$T = \frac{99.78 - 100}{0.914/3} = \frac{-0.22}{0.305} = -0.721$

$t_{0.025}(8) = 2.306$，$|T| = 0.721 < 2.306$，不拒绝 $H_0$。

净重符合标称。

例题4

为比较两种安眠药的效果，10 名患者分别服用两种药物，延长睡眠时间（小时）如下：

在 $\alpha = 0.05$ 下检验两种药效果是否有显著差异。

解：配对 t 检验。$d_i = A_i - B_i$：

$d$: 1.2, 2.4, 1.3, 1.3, 0, 1.0, 1.8, 0.8, 4.6, 1.4

$\bar{d} = 1.58$，$s_d = 1.229$

$T = \frac{1.58}{1.229/\sqrt{10}} = \frac{1.58}{0.389} = 4.062$

$t_{0.025}(9) = 2.262$，$|T| = 4.062 > 2.262$，拒绝 $H_0$。

两种药效果有显著差异。

例题5

甲乙两种工艺生产的产品长度分别服从正态分布，抽取样本：甲 $n_1 = 8$，$\bar{x} = 10.5$，$s_1 = 0.4$；乙 $n_2 = 6$，$\bar{y} = 10.1$，$s_2 = 0.3$。假设方差相等，在 $\alpha = 0.05$ 下检验两种工艺产品长度是否有显著差异。

解：

$S_w^2 = \frac{7 \times 0.16 + 5 \times 0.09}{12} = \frac{1.12 + 0.45}{12} = 0.131$

$T = \frac{10.5 - 10.1}{\sqrt{0.131 \times (1/8 + 1/6)}} = \frac{0.4}{\sqrt{0.131 \times 0.292}} = \frac{0.4}{0.196} = 2.041$

$t_{0.025}(12) = 2.179$，$|T| = 2.041 < 2.179$，不拒绝 $H_0$。

两种工艺产品长度无显著差异。

3. χ² 检验

例题6

某厂生产铜丝，其折断力服从正态分布，标准差为 8kg。现抽取 10 根，$s = 10$kg。在 $\alpha = 0.05$ 下检验折断力标准差是否变大。

解：

$H_0: \sigma^2 \leq 64$，$H_1: \sigma^2 > 64$

$\chi^2 = \frac{9 \times 100}{64} = 14.0625$

$\chi^2_{0.05}(9) = 16.919$，$\chi^2 = 14.0625 < 16.919$，不拒绝 $H_0$。

折断力标准差未显著变大。

例题7

某电话交换台每分钟呼叫次数统计如下（共 100 分钟）：

在 $\alpha = 0.05$ 下检验呼叫次数是否服从泊松分布。

解：$\hat{\lambda} = \bar{x} = \dfrac{0 \times 5 + 1 \times 15 + 2 \times 25 + 3 \times 25 + 4 \times 18 + 5 \times 8 + 6 \times 4}{100} = 2.61$

计算理论频数后进行 $\chi^2$ 拟合优度检验（需合并使每组 $np_i \geq 5$）。

自由度 $= k - 1 - 1 = k - 2$（估计了一个参数 $\lambda$）。

例题8

调查 300 人的血型与性格类型：

在 $\alpha = 0.05$ 下检验血型与性格类型是否独立。

解：

$H_0$: 血型与性格独立

自由度 $= (3-1)(2-1) = 2$

计算 $\chi^2$ 统计量并与 $\chi^2_{0.05}(2) = 5.991$ 比较。

4. F 检验

例题9

两种型号灯泡的寿命分别服从正态分布，各抽取 10 只和 8 只，$s_1^2 = 2600$，$s_2^2 = 1100$。在 $\alpha = 0.05$ 下检验两种灯泡寿命方差是否相等。

解：

$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

$F = \frac{2600}{1100} = 2.364$

$F_{0.025}(9, 7) = 4.82$，$F = 2.364 < 4.82$，不拒绝 $H_0$。

两种灯泡寿命方差无显著差异。

例题10

三种教学方法的学生成绩如下：

方法A：73, 66, 89, 82, 43, 80, 63 方法B：88, 78, 91, 76, 85, 84 方法C：68, 79, 71, 71, 87

在 $\alpha = 0.05$ 下检验三种教学方法效果是否有显著差异。

解：单因素方差分析。

$\bar{X}_A = 70.86$，$\bar{X}_B = 83.67$，$\bar{X}_C = 75.2$，$\bar{X} = 76.17$

$S_A = 7(70.86-76.17)^2 + 6(83.67-76.17)^2 + 5(75.2-76.17)^2 = 197.5 + 337.5 + 4.7 = 539.7$

$S_E = \sum(X_{ij} - \bar{X}_i)^2 = 1516.86 + 154.83 + 268.8 = 1940.49$

$F = \frac{539.7/2}{1940.49/15} = \frac{269.85}{129.37} = 2.086$

$F_{0.05}(2, 15) = 3.68$，$F = 2.086 < 3.68$，不拒绝 $H_0$。

三种教学方法效果无显著差异。

5. 综合题

例题11

设 $X_1, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 未知，求 $\sigma^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间，并据此构造 $\sigma^2$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验。

解：枢轴量 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。

置信区间：$\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$

检验 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$：若 $\sigma_0^2$ 落在置信区间外，则拒绝 $H_0$。

例题12

设总体 $X \sim N(\mu, 1)$，$H_0: \mu = 0$，$H_1: \mu = 1$，样本量 $n = 25$，$\alpha = 0.05$，求第二类错误的概率 $\beta$。

解：拒绝域 $Z > 1.645$，即 $\bar{X} > 1.645/5 = 0.329$。

在 $H_1: \mu = 1$ 下，$\bar{X} \sim N(1, 1/25)$。

$\beta = P(\bar{X} \leq 0.329 \mid \mu = 1) = \Phi\left(\frac{0.329 - 1}{0.2}\right) = \Phi(-3.355) \approx 0.0004$

例题13

某厂产品不合格率声称不超过 3%，现抽查 200 件发现 10 件不合格。在 $\alpha = 0.05$ 下检验该声称是否可信。

解：

$H_0: p \leq 0.03$，$H_1: p > 0.03$

$\hat{p} = 0.05, \quad Z = \frac{0.05 - 0.03}{\sqrt{0.03 \times 0.97/200}} = \frac{0.02}{0.01206} = 1.658$

$z_{0.05} = 1.645$，$Z = 1.658 > 1.645$，拒绝 $H_0$。

不合格率超过 3%。

例题14

证明：在正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

证明：$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$，$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。

$\bar{X}$ 是 $\sum X_i$ 的函数，$S^2$ 是 $\sum(X_i - \bar{X})^2$ 的函数。

由正态分布的性质，$\bar{X}$ 与 $X_i - \bar{X}$ 不相关（$\text{Cov}(\bar{X}, X_i - \bar{X}) = 0$），在正态分布中不相关等价于独立。

因此 $\bar{X}$ 与 $(X_1 - \bar{X}, \cdots, X_n - \bar{X})$ 独立，从而 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

例题15

设 $X_1, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，$H_0: \mu = \mu_0$，$H_1: \mu > \mu_0$。求使功效 $1 - \beta \geq 0.9$（当 $\mu = \mu_0 + \delta$ 时）所需的最小样本量。

解：拒绝域 $Z > z_\alpha$，即 $\bar{X} > \mu_0 + z_\alpha\sigma/\sqrt{n}$。

在 $\mu = \mu_0 + \delta$ 下：

$1 - \beta = P\left(\bar{X} > \mu_0 + \frac{z_\alpha\sigma}{\sqrt{n}} \biggm| \mu = \mu_0 + \delta\right) = 1 - \Phi\left(\frac{z_\alpha\sigma/\sqrt{n} - \delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = \Phi\left(\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma} - z_\alpha\right)$

要求 $\Phi\left(\dfrac{\delta\sqrt{n}}{\sigma} - z_\alpha\right) \geq 0.9$：

$\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma} - z_\alpha \geq z_{0.1} = 1.282$

$n \geq \frac{(z_\alpha + 1.282)^2\sigma^2}{\delta^2}$