联合分布

1. 二维随机变量

1.1 定义

设 $E$ 是一个随机试验，$\Omega$ 为其样本空间，$X = X(\omega)$ 和 $Y = Y(\omega)$ 是定义在 $\Omega$ 上的两个随机变量，则称 $(X, Y)$ 为二维随机变量（或二维随机向量）。

1.2 二维随机变量的分类

• 二维离散型：$X$ 和 $Y$ 都取有限个或可列个值
• 二维连续型：存在非负函数 $f(x, y)$ 使得 $F(x, y) = \iint f(u, v) \, du \, dv$
• 混合型：一个离散一个连续

2. 联合分布函数

2.1 定义

设 $(X, Y)$ 是二维随机变量，对任意实数 $x, y$，二元函数

$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$

称为 $(X, Y)$ 的联合分布函数。

2.2 几何意义

$F(x, y)$ 表示随机点 $(X, Y)$ 落在以 $(x, y)$ 为右上顶点的无穷矩形区域内的概率。

2.3 联合分布函数的性质

1. 单调性：$F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 分别单调不减

2. 有界性：$0 \leq F(x, y) \leq 1$

3. 边界值：

$F(-\infty, y) = 0, \quad F(x, -\infty) = 0, \quad F(-\infty, -\infty) = 0, \quad F(+\infty, +\infty) = 1$

4. 右连续：$F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 分别右连续

5. 非负性：对任意 $x_1 < x_2, y_1 < y_2$，

$P(x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2) = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \geq 0$

2.4 由联合分布函数计算概率

$P(x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2) = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1)$

3. 二维离散型随机变量

3.1 联合分布律

设 $(X, Y)$ 的所有可能取值为 $(x_i, y_j)$（$i, j = 1, 2, \cdots$），则

$P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}, \quad i, j = 1, 2, \cdots$

称为 $(X, Y)$ 的联合分布律。

3.2 联合分布律的性质

1. $p_{ij} \geq 0$
2. $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1$

3.3 联合分布律与联合分布函数的关系

$F(x, y) = \sum_{x_i \leq x} \sum_{y_j \leq y} p_{ij}$

3.4 示例

例题：袋中有 2 个红球和 3 个白球，从中不放回地取两次，每次取一个。设 $X$ 为第一次取到的红球数，$Y$ 为第二次取到的红球数，求 $(X, Y)$ 的联合分布律。

解：

$P(X = 0, Y = 0) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

$P(X = 0, Y = 1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

$P(X = 1, Y = 0) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$

$P(X = 1, Y = 1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

4. 二维连续型随机变量

4.1 联合概率密度

设 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$，若存在非负可积函数 $f(x, y)$，使得

$F(x, y) = \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \, du \, dv$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x, y)$ 为联合概率密度函数。

4.2 联合概率密度的性质

1. 非负性：$f(x, y) \geq 0$

2. 规范性：$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1$

3. 概率计算：$P((X, Y) \in D) = \iint_D f(x, y) \, dx \, dy$

4. 在连续点处：$\dfrac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = f(x, y)$

4.3 示例

例题：设 $(X, Y)$ 的联合密度为

$f(x, y) = \begin{cases} 6xy^2, & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

验证规范性并求 $P(X + Y \leq 1)$。

解：

$\int_0^1 \int_0^1 6xy^2 \, dx \, dy = 6 \int_0^1 x \, dx \cdot \int_0^1 y^2 \, dy = 6 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 1 \quad \checkmark$

$P(X + Y \leq 1) = \int_0^1 \int_0^{1-x} 6xy^2 \, dy \, dx = \int_0^1 6x \cdot \frac{(1-x)^3}{3} \, dx = 2\int_0^1 x(1-x)^3 \, dx$

$= 2 \cdot B(2, 4) = 2 \cdot \frac{\Gamma(2)\Gamma(4)}{\Gamma(6)} = 2 \cdot \frac{1! \cdot 3!}{5!} = 2 \cdot \frac{6}{120} = \frac{1}{10}$

5. 常见二维分布

5.1 二维均匀分布

设 $D$ 为平面上的有界区域，面积为 $S_D$，若 $(X, Y)$ 的联合密度为

$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{S_D}, & (x, y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

则称 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布。

5.2 二维正态分布

若 $(X, Y)$ 的联合密度为

$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - \frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}$

则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho$ 的二维正态分布，记作 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$。

其中 $\rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数，$|\rho| < 1$。

重要性质：

1. $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
2. $X$ 与 $Y$ 独立 $\iff$ $\rho = 0$
3. $(X, Y)$ 的任意线性组合仍为正态分布