统计量

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统计量的定义、样本均值、样本方差、样本矩及常用统计量。

1. 统计量的定义

1.1 定义

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本， $g(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是一个 $n$ 元函数，若 $g$ 中不包含任何未知参数，则称 $g(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 为一个统计量。

1.2 统计量的特点

统计量是样本的函数，不含未知参数
统计量是随机变量
统计量的分布称为抽样分布

1.3 为什么要求不含未知参数

统计量是用于推断未知参数的，如果统计量本身含有未知参数，就无法从样本数据中计算出统计量的值，也就无法进行推断。

2. 样本均值

2.1 定义

$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

称为样本均值。

2.2 样本均值的性质

设 $E(X) = \mu$ ， $D(X) = \sigma^2$ ，则：

$E(\bar{X}) = \mu$ （无偏性）
$D(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$
由中心极限定理，当 $n$ 较大时， $\bar{X}$ 近似服从 $N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$
若总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ （精确分布）

2.3 样本均值的计算

未分组数据： $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

分组数据： $\bar{x} = \dfrac{\sum_{j=1}^k f_j x_j}{\sum_{j=1}^k f_j}$

其中 $f_j$ 为第 $j$ 组的频数， $x_j$ 为第 $j$ 组的组中值。

3. 样本方差

3.1 定义

$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

称为样本方差（无偏版本）。

$S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$

称为样本标准差。

3.2 为什么除以 $n-1$ 而不是 $n$

$E(S^2) = E\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\right] = \sigma^2$

除以 $n-1$ 使得 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计。

若除以 $n$ ，则 $E\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\right] = \dfrac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$ ，是有偏的。

3.3 样本方差的计算公式

$S^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\right) = \frac{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2}{n(n-1)}$

3.4 样本方差的性质

设 $E(X) = \mu$ ， $D(X) = \sigma^2$ ，则：

$E(S^2) = \sigma^2$ （无偏性）
当总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 时， $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
$\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立（正态总体时）

4. 样本矩

4.1 样本 $k$ 阶原点矩

$A_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k, \quad k = 1, 2, \cdots$

特别地， $A_1 = \bar{X}$ 。

4.2 样本 $k$ 阶中心矩

$B_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^k, \quad k = 2, 3, \cdots$

注意： $B_2 = \dfrac{n-1}{n}S^2$ 。

4.3 样本矩与总体矩的关系

由大数定律，当 $n \to \infty$ 时：

$A_k \xrightarrow{P} E(X^k) = \mu_k$

$B_k \xrightarrow{P} E[X - E(X)]^k = \nu_k$

5. 其他常用统计量

5.1 样本极差

$R = X_{(n)} - X_{(1)} = \max(X_i) - \min(X_i)$

5.2 样本中位数

$M_e = \begin{cases} X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & n \text{ 为奇数} \\ \frac{1}{2}\left[X_{\left(\frac{n}{2}\right)} + X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right], & n \text{ 为偶数} \end{cases}$