连续型随机变量

1. 连续型随机变量的概念

1.1 概率密度函数

设 $F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$，有

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$

则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数（简称密度函数或密度）。

1.2 概率密度函数的性质

1. 非负性：$f(x) \geq 0$
2. 规范性：$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
3. 概率计算：$P(a < X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$
4. 单点概率为零：$P(X = x_0) = 0$（对任意 $x_0$）
5. 在连续点处：$F'(x) = f(x)$

1.3 连续型随机变量的特点

• 取任一确定值的概率为零
• $P(a < X < b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b)$
• 分布函数 $F(x)$ 是连续函数

2. 均匀分布

2.1 定义

若随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

则称 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布，记作 $X \sim U(a, b)$。

2.2 分布函数

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \dfrac{x - a}{b - a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases}$

2.3 性质

1. 期望与方差：$E(X) = \dfrac{a + b}{2}$，$D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$

2. 等可能性：$X$ 落在 $[a, b]$ 中任意等长度的子区间内的概率相等

3. 线性变换：若 $X \sim U(a, b)$，则 $Y = \dfrac{X - a}{b - a} \sim U(0, 1)$

2.4 应用

均匀分布常用于：

• 随机数的生成（计算机中的伪随机数）
• 舍入误差的建模
• 缺乏先验信息时的初始假设

3. 指数分布

3.1 定义

若随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$。

3.2 分布函数

$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

3.3 性质

1. 期望与方差：$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$，$D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$

2. 无记忆性：对任意 $s, t > 0$，

$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$

证明：

$P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)$

指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布。

3. 与泊松过程的关系：若事件的发生服从参数为 $\lambda$ 的泊松过程，则相邻两个事件的时间间隔服从 $\text{Exp}(\lambda)$。

3.4 应用

• 电子元件的寿命
• 等待时间（如顾客到达的间隔时间）
• 电话通话时间
• 放射性衰变时间

4. 正态分布

4.1 定义

若随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$

其中 $\mu$ 和 $\sigma > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\mu, \sigma^2$ 的正态分布（高斯分布），记作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

4.2 正态分布的密度函数特征

1. 对称性：$f(x)$ 关于 $x = \mu$ 对称
2. 最大值：$f(\mu) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
3. 拐点：$x = \mu \pm \sigma$ 处有拐点
4. 渐近线：$x$ 轴为水平渐近线
5. $\mu$ 决定曲线的位置，$\sigma$ 决定曲线的形状（$\sigma$ 越大曲线越矮胖，$\sigma$ 越小曲线越瘦高）

4.3 标准正态分布

当 $\mu = 0, \sigma = 1$ 时，$X \sim N(0, 1)$ 称为标准正态分布，其密度函数和分布函数分别记为

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad \Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \varphi(t) \, dt$

标准正态分布的性质：

1. $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
2. $\Phi(0) = 0.5$
3. $P(|X| \leq a) = 2\Phi(a) - 1$

4.4 标准化

若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。

因此

$P(a < X < b) = P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} < Z < \frac{b - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$

4.5 正态分布的 $3\sigma$ 法则

$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.6827$

$P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$

$P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0.9973$

即正态随机变量几乎全部落在 $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$ 之内。

4.6 正态分布的性质

1. 期望与方差：$E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$

2. 线性变换：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$

3. 可加性：若 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

4. 更一般地：独立正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量

4.7 正态分布的应用

正态分布是概率论中最重要的分布，其重要性源于：

• 中心极限定理：大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布
• 误差理论：测量误差通常服从正态分布
• 自然界：许多自然现象近似服从正态分布（身高、考试成绩等）

4.8 正态分布计算示例

例题：设 $X \sim N(3, 4)$，求 $P(2 < X < 5)$。

解：$\mu = 3$，$\sigma = 2$。

$P(2 < X < 5) = \Phi\left(\frac{5-3}{2}\right) - \Phi\left(\frac{2-3}{2}\right) = \Phi(1) - \Phi(-0.5)$

$= \Phi(1) - (1 - \Phi(0.5)) = 0.8413 - (1 - 0.6915) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$