随机变量函数的分布

1. 问题的提出

设 $X$ 是一个随机变量，其分布已知，$g(x)$ 是一个连续函数，如何求 $Y = g(X)$ 的分布？

这是概率论中的基本问题之一，主要有以下几种方法。

2. 分布函数法

2.1 基本思路

分布函数法是求随机变量函数分布的最基本方法，步骤如下：

1. 写出 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)$
2. 将不等式 $g(X) \leq y$ 转化为关于 $X$ 的不等式
3. 利用 $X$ 的分布求出 $F_Y(y)$
4. 对 $F_Y(y)$ 求导得到 $f_Y(y)$（连续型）

2.2 单调函数的情形

若 $g(x)$ 严格单调且可导，则 $Y = g(X)$ 的密度函数为：

$f_Y(y) = \begin{cases} f_X(g^{-1}(y)) \cdot |(g^{-1}(y))'|, & y \in g \text{ 的值域} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

推导：设 $g$ 严格单调递增，则

$F_Y(y) = P(g(X) \leq y) = P(X \leq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))$

$f_Y(y) = F_Y'(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot (g^{-1}(y))'$

若 $g$ 严格单调递减，则

$F_Y(y) = P(g(X) \leq y) = P(X \geq g^{-1}(y)) = 1 - F_X(g^{-1}(y))$

$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |(g^{-1}(y))'|$

2.3 示例

例题：设 $X \sim N(0, 1)$，求 $Y = X^2$ 的分布。

解：

当 $y \leq 0$ 时，$F_Y(y) = 0$。

当 $y > 0$ 时：

$F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1$

$f_Y(y) = F_Y'(y) = 2\varphi(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}$

即 $Y \sim \chi^2(1)$。

3. 公式法

3.1 适用条件

当 $g(x)$ 严格单调且可导时，可直接使用公式：

$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$

其中 $h(y) = g^{-1}(y)$ 是 $g$ 的反函数。

3.2 常见变换

线性变换：$Y = aX + b$（$a \neq 0$）

$f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$

特别地，若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$。

幂变换：$Y = X^2$（$X > 0$）

$f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} f_X(\sqrt{y}), \quad y > 0$

指数变换：$Y = e^X$

$f_Y(y) = \frac{1}{y} f_X(\ln y), \quad y > 0$

对数变换：$Y = \ln X$（$X > 0$）

$f_Y(y) = e^y f_X(e^y)$

3.3 公式法的局限性

当 $g(x)$ 不单调时，公式法不能直接使用，需要用分布函数法分段处理。

4. 非单调函数的处理

4.1 分段单调

若 $g(x)$ 在若干区间上分别单调，则在每个单调区间上分别使用公式法，然后求和。

例题：设 $X \sim N(0, 1)$，求 $Y = |X|$ 的分布。

解：$y = |x|$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

当 $y > 0$ 时：

$F_Y(y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y) = \Phi(y) - \Phi(-y) = 2\Phi(y) - 1$

$f_Y(y) = 2\varphi(y) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}, \quad y > 0$

4.2 一般方法

对于一般的 $g(x)$：

1. 对每个 $y$，求出 $\{x : g(x) \leq y\}$ 的范围
2. 利用 $X$ 的分布计算 $P(g(X) \leq y)$
3. 对 $F_Y(y)$ 求导

5. 离散型随机变量函数的分布

5.1 方法

设 $X$ 为离散型随机变量，分布律为 $P(X = x_k) = p_k$，$Y = g(X)$。

1. 列出 $Y$ 的所有可能取值 $y_1, y_2, \cdots$
2. 对每个 $y_j$，计算 $P(Y = y_j) = \sum_{g(x_k) = y_j} p_k$

5.2 示例

例题：设 $X$ 的分布律为：

求 $Y = X^2$ 的分布律。

解：$Y$ 的可能取值为 $0, 1, 4$。

$P(Y = 0) = P(X = 0) = 0.3$

$P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0.2 + 0.1 = 0.3$

$P(Y = 4) = P(X = 2) = 0.4$

6. 常见变换总结

6.1 正态分布的变换

6.2 均匀分布的变换

6.3 指数分布的变换