随机变量典型例题

1. 离散型随机变量

例题1

某射手每次射击命中目标的概率为 0.8，连续射击直到命中为止。求射击次数 $X$ 的分布律及 $P(X \leq 3)$。

解：$X$ 服从几何分布 $G(0.8)$。

$P(X = k) = 0.2^{k-1} \times 0.8, \quad k = 1, 2, 3, \cdots$

$P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.8 + 0.16 + 0.032 = 0.992$

例题2

设某电话交换台每分钟接到的呼叫次数 $X$ 服从参数 $\lambda = 3$ 的泊松分布，求：

（1）一分钟内恰好接到 5 次呼叫的概率；

（2）一分钟内接到呼叫次数不超过 2 次的概率。

解：$X \sim P(3)$。

（1）$P(X = 5) = \dfrac{3^5 e^{-3}}{5!} = \dfrac{243 \times 0.0498}{120} \approx 0.1008$

（2）$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e^{-3}(1 + 3 + 4.5) = 8.5e^{-3} \approx 0.4232$

例题3

一批产品共 100 件，其中 10 件次品。从中任取 5 件，求取到次品数 $X$ 的分布律。

解：$X \sim H(100, 10, 5)$。

$P(X = k) = \frac{\binom{10}{k}\binom{90}{5-k}}{\binom{100}{5}}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$

2. 连续型随机变量

例题4

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$f(x) = \begin{cases} Ax^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

求：（1）常数 $A$；（2）$P(0.2 < X < 0.5)$；（3）$X$ 的分布函数。

解：

（1）由规范性 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$：

$\int_0^1 Ax^2 \, dx = A \cdot \frac{1}{3} = 1 \implies A = 3$

（2）$P(0.2 < X < 0.5) = \displaystyle\int_{0.2}^{0.5} 3x^2 \, dx = [x^3]_{0.2}^{0.5} = 0.125 - 0.008 = 0.117$

（3）当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$；

当 $0 \leq x < 1$ 时，$F(x) = \displaystyle\int_0^x 3t^2 \, dt = x^3$；

当 $x \geq 1$ 时，$F(x) = 1$。

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^3, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$

例题5

设 $X \sim N(2, 9)$，求：

（1）$P(X < 5)$；（2）$P(-4 < X < 8)$；（3）$P(|X| > 4)$。

解：$\mu = 2$，$\sigma = 3$。

（1）$P(X < 5) = \Phi\left(\dfrac{5-2}{3}\right) = \Phi(1) = 0.8413$

（2）$P(-4 < X < 8) = \Phi\left(\dfrac{8-2}{3}\right) - \Phi\left(\dfrac{-4-2}{3}\right) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$

（3）$P(|X| > 4) = P(X > 4) + P(X < -4)$

$= 1 - \Phi\left(\dfrac{4-2}{3}\right) + \Phi\left(\dfrac{-4-2}{3}\right) = 1 - \Phi(0.667) + \Phi(-2) = 1 - 0.7476 + 0.0228 = 0.2752$

3. 分布函数

例题6

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ Ax + B, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$

求常数 $A, B$ 及 $P(0.3 < X < 0.7)$。

解：由 $F(0) = 0$ 得 $B = 0$；由 $F(1^-) = 1$ 得 $A = 1$。

$P(0.3 < X < 0.7) = F(0.7) - F(0.3) = 0.7 - 0.3 = 0.4$

例题7

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ 0.2, & -1 \leq x < 0 \\ 0.7, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$

求 $X$ 的分布律。

解：$X$ 为离散型随机变量，取值为 $-1, 0, 1$。

$P(X = -1) = F(-1) - F(-1^-) = 0.2 - 0 = 0.2$

$P(X = 0) = F(0) - F(0^-) = 0.7 - 0.2 = 0.5$

$P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 1 - 0.7 = 0.3$

4. 常用分布

例题8

某元件的寿命 $X$（小时）服从参数 $\lambda = 0.001$ 的指数分布。求：

（1）元件寿命超过 1000 小时的概率；

（2）已知元件已使用了 500 小时，再使用 1000 小时的概率。

解：$X \sim \text{Exp}(0.001)$。

（1）$P(X > 1000) = e^{-0.001 \times 1000} = e^{-1} \approx 0.3679$

（2）由无记忆性：

$P(X > 500 + 1000 \mid X > 500) = P(X > 1000) = e^{-1} \approx 0.3679$

例题9

设 $X \sim B(n, p)$，且 $E(X) = 12$，$D(X) = 8$，求 $n$ 和 $p$。

解：

$E(X) = np = 12, \quad D(X) = np(1-p) = 8$

$1 - p = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \implies p = \frac{1}{3}$

$n = \frac{12}{1/3} = 36$

5. 随机变量函数的分布

例题10

设 $X \sim U(0, 1)$，求 $Y = -2\ln X$ 的分布。

解：当 $y > 0$ 时：

$F_Y(y) = P(-2\ln X \leq y) = P(\ln X \geq -y/2) = P(X \geq e^{-y/2}) = 1 - e^{-y/2}$

$f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-y/2}, \quad y > 0$

即 $Y \sim \text{Exp}(1/2)$，也即 $Y \sim \chi^2(2)$。

例题11

设 $X \sim U(-1, 2)$，求 $Y = X^2$ 的密度函数。

解：$Y$ 的取值范围为 $[0, 4)$。

当 $0 \leq y < 1$ 时：

$F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{2\sqrt{y}}{3}$

$f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}$

当 $1 \leq y < 4$ 时：

$F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})$

由于 $X \in [-1, 2]$，所以 $-\sqrt{y} \leq X$ 等价于 $X \geq -1$（因为 $\sqrt{y} \geq 1$），

$F_Y(y) = P(-1 \leq X \leq \sqrt{y}) = \frac{\sqrt{y} + 1}{3}$

$f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}$

综上：

$f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \dfrac{1}{6\sqrt{y}}, & 1 \leq y < 4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

例题12

设 $X \sim N(0, 1)$，求 $Y = e^X$ 的密度函数。

解：$y = e^x$ 严格单调递增，$x = \ln y$，$x' = \dfrac{1}{y}$。

$f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln y)^2}{2}}, \quad y > 0$

这是对数正态分布的密度函数。

6. 综合题

例题13

设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{2}e^{-|x|}$（$-\infty < x < +\infty$），求 $Y = |X|$ 的密度函数。

解：当 $y > 0$ 时：

$F_Y(y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y) = \int_{-y}^{y} \frac{1}{2}e^{-|x|} dx = 2\int_0^y \frac{1}{2}e^{-x} dx = 1 - e^{-y}$

$f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0$

即 $Y \sim \text{Exp}(1)$。

例题14

设 $X \sim U(0, \pi)$，求 $Y = \sin X$ 的密度函数。

解：$Y$ 的取值范围为 $[0, 1]$。

当 $0 < y < 1$ 时，$\sin x \leq y$ 在 $[0, \pi]$ 上的解为 $x \in [0, \arcsin y] \cup [\pi - \arcsin y, \pi]$。

$F_Y(y) = P(\sin X \leq y) = \frac{\arcsin y + \arcsin y}{\pi} = \frac{2\arcsin y}{\pi}$

$f_Y(y) = \frac{2}{\pi\sqrt{1 - y^2}}, \quad 0 < y < 1$

例题15

证明：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。

证明：$y = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ 严格单调递增，$x = \sigma y + \mu$，$\dfrac{dx}{dy} = \sigma$。

$f_Y(y) = f_X(\sigma y + \mu) \cdot \sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(\sigma y + \mu - \mu)^2}{2\sigma^2}} \cdot \sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}} = \varphi(y)$

故 $Y \sim N(0, 1)$。