卡方检验

1. 单总体方差的 χ² 检验

1.1 适用条件

总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，检验 $\sigma^2$ 是否等于某给定值。

1.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$，$H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$
• 右侧：$H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2$，$H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$
• 左侧：$H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2$，$H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$

检验统计量：

$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

拒绝域：

1.3 示例

例题：某零件直径服从正态分布，标准差规定不超过 0.05mm。现抽取 10 件，测得 $s = 0.06$mm。在 $\alpha = 0.05$ 下检验标准差是否超标。

解：

$H_0: \sigma^2 \leq 0.0025$，$H_1: \sigma^2 > 0.0025$

$\chi^2 = \frac{9 \times 0.0036}{0.0025} = 12.96$

$\chi^2_{0.05}(9) = 16.919$，$\chi^2 = 12.96 < 16.919$，不拒绝 $H_0$。

标准差未显著超标。

2. 拟合优度检验

2.1 问题

检验总体分布是否与某个理论分布吻合。

2.2 方法

设总体 $X$ 的取值分为 $k$ 个类别，理论概率为 $p_1, p_2, \cdots, p_k$（$\sum p_i = 1$），观测频数为 $n_1, n_2, \cdots, n_k$（$\sum n_i = n$），理论频数为 $np_1, np_2, \cdots, np_k$。

检验统计量：

$\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(n_i - np_i)^2}{np_i}$

在 $H_0$ 成立且 $n$ 充分大时，$\chi^2$ 近似服从 $\chi^2(k - 1 - r)$，其中 $r$ 为需要估计的参数个数。

拒绝域：$\chi^2 > \chi^2_\alpha(k-1-r)$

2.3 使用条件

• 每个类别的理论频数 $np_i \geq 5$
• 若有 $np_i < 5$ 的类别，需合并相邻类别

2.4 示例

例题：掷一颗骰子 120 次，结果如下：

在 $\alpha = 0.05$ 下检验骰子是否均匀。

解：$H_0$: 骰子均匀（$p_i = 1/6$），$H_1$: 骰子不均匀。

理论频数 $np_i = 20$。

$\chi^2 = \frac{(23-20)^2}{20} + \frac{(16-20)^2}{20} + \frac{(18-20)^2}{20} + \frac{(25-20)^2}{20} + \frac{(22-20)^2}{20} + \frac{(16-20)^2}{20}$

$= \frac{9}{20} + \frac{16}{20} + \frac{4}{20} + \frac{25}{20} + \frac{4}{20} + \frac{16}{20} = \frac{74}{20} = 3.7$

$\chi^2_{0.05}(5) = 11.071$，$\chi^2 = 3.7 < 11.071$，不拒绝 $H_0$。

骰子是均匀的。

3. 独立性检验

3.1 问题

检验两个分类变量是否独立。

3.2 方法

设两个分类变量分别有 $r$ 个和 $c$ 个水平，构成 $r \times c$ 列联表。

假设：$H_0$: 两变量独立，$H_1$: 两变量不独立

理论频数：

$e_{ij} = \frac{n_{i\cdot} \times n_{\cdot j}}{n}$

检验统计量：

$\chi^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \frac{(n_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}$

近似服从 $\chi^2((r-1)(c-1))$。

拒绝域：$\chi^2 > \chi^2_\alpha((r-1)(c-1))$

3.3 示例

例题：调查 200 人的性别与是否喜欢某产品的态度：

在 $\alpha = 0.05$ 下检验性别与态度是否独立。

解：

$e_{11} = \dfrac{100 \times 110}{200} = 55$，$e_{12} = 45$，$e_{21} = 55$，$e_{22} = 45$。

$\chi^2 = \frac{(40-55)^2}{55} + \frac{(60-45)^2}{45} + \frac{(70-55)^2}{55} + \frac{(30-45)^2}{45}$

$= \frac{225}{55} + \frac{225}{45} + \frac{225}{55} + \frac{225}{45} = 4.091 + 5 + 4.091 + 5 = 18.182$

$\chi^2_{0.05}(1) = 3.841$，$\chi^2 = 18.182 > 3.841$，拒绝 $H_0$。

性别与态度不独立，存在显著关联。

4. χ² 检验汇总