正态总体参数的区间估计

1. 单正态总体均值的区间估计

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，置信水平 $1 - \alpha$。

1.1 σ 已知

枢轴量：$Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

$P\left(-z_{\alpha/2} < \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$

$\mu$ 的置信区间：

$\left(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

区间宽度：$2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

1.2 σ 未知

枢轴量：$T = \dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

$\mu$ 的置信区间：

$\left(\bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \quad \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

1.3 示例

例题：从某批零件中抽取 9 件，测得长度（mm）为：21.1, 21.3, 21.4, 21.5, 21.3, 21.7, 21.4, 21.3, 21.6。设零件长度服从正态分布，求总体均值 $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间。

解：$n = 9$，$\bar{x} = 21.4$，$s = 0.187$。

$\sigma$ 未知，用 $t$ 分布。$t_{0.025}(8) = 2.306$。

$\left(21.4 - 2.306 \times \frac{0.187}{3}, \quad 21.4 + 2.306 \times \frac{0.187}{3}\right) = (21.256, 21.544)$

2. 单正态总体方差的区间估计

2.1 枢轴量

$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

2.2 置信区间

$P\left(\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha$

$\sigma^2$ 的置信区间：

$\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \quad \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$

$\sigma$ 的置信区间：

$\left(\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}}, \quad \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}}\right)$

2.3 示例

例题：设 $n = 16$，$s^2 = 4$，求 $\sigma^2$ 的 $95\%$ 置信区间。

解：$\chi^2_{0.025}(15) = 27.488$，$\chi^2_{0.975}(15) = 6.262$。

$\left(\frac{15 \times 4}{27.488}, \quad \frac{15 \times 4}{6.262}\right) = (2.183, 9.583)$

3. 双正态总体均值差的区间估计

设 $X_1, \cdots, X_{n_1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y_1, \cdots, Y_{n_2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，两样本独立。

3.1 σ₁² 和 σ₂² 已知

$\left((\bar{X} - \bar{Y}) - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \quad (\bar{X} - \bar{Y}) + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)$

3.2 σ₁² = σ₂² = σ² 未知

$\left((\bar{X} - \bar{Y}) - t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \quad (\bar{X} - \bar{Y}) + t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right)$

其中 $S_w^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$。

3.3 σ₁² ≠ σ₂² 且未知（近似）

当 $n_1, n_2$ 较大时，可用

$\left((\bar{X} - \bar{Y}) - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}, \quad (\bar{X} - \bar{Y}) + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}\right)$

4. 双正态总体方差比的区间估计

4.1 枢轴量

$F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

4.2 置信区间

$\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)}, \quad \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2}(n_2-1, n_1-1)\right)$

5. 非正态总体参数的区间估计

5.1 大样本方法

当 $n$ 较大时，由中心极限定理：

$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \overset{\text{近似}}{\sim} N(0, 1)$

$\mu$ 的近似置信区间：

$\left(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}, \quad \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

5.2 比例的区间估计

设 $X \sim B(n, p)$，$\hat{p} = X/n$，当 $n$ 较大时：

$\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}} \overset{\text{近似}}{\sim} N(0, 1)$

$p$ 的近似置信区间：

$\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$

6. 区间估计汇总表