古典概型

9 minBeginner2026/6/14

等可能概型的定义与计算、排列组合基础、古典概型的典型问题与应用。

1. 古典概型的定义

若随机试验 $E$ 满足以下两个条件：

有限性：样本空间 $\Omega$ 中样本点的个数是有限的，即 $|\Omega| = n < \infty$
等可能性：每个样本点出现的概率相等，即 $P(\omega_1) = P(\omega_2) = \cdots = P(\omega_n) = \dfrac{1}{n}$

则称此试验为古典概型（等可能概型）。

对于古典概型，事件 $A$ 的概率为：

$P(A) = \frac{A \text{ 包含的样本点数}}{\Omega \text{ 中的样本点总数}} = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{m}{n}$

其中 $m$ 为事件 $A$ 所包含的样本点个数（称为 $A$ 的有利场合数）， $n$ 为样本空间 $\Omega$ 中样本点的总数。

概率值在 $[0, 1]$ 之间
必然事件的概率为 1
不可能事件的概率为 0
若 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 两两互斥，则 $P\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) = \sum_{i=1}^k P(A_i)$

加法原理：完成一件事有 $n$ 类办法，第 $i$ 类办法有 $m_i$ 种方法，则完成这件事共有

$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$

种不同的方法。

乘法原理：完成一件事需要 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_i$ 种方法，则完成这件事共有

$N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$

种不同的方法。

不可重复排列：从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个（ $0 \leq r \leq n$ ），按一定顺序排成一列，称为从 $n$ 中取 $r$ 的排列，其排列数为：

$A_n^r = P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$

当 $r = n$ 时，称为全排列：

$A_n^n = n!$

可重复排列：从 $n$ 个不同元素中可重复地取出 $r$ 个排成一列，排列数为：

$n^r$

圆排列： $n$ 个不同元素围成一圈的排列数为：

$(n-1)!$

不可重复组合：从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个（ $0 \leq r \leq n$ ），不考虑顺序，称为从 $n$ 中取 $r$ 的组合，其组合数为：

$C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{A_n^r}{r!}$

可重复组合：从 $n$ 个不同元素中可重复地取出 $r$ 个（不考虑顺序），组合数为：

$\binom{n+r-1}{r} = H_n^r$

$\dbinom{n}{r} = \dbinom{n}{n-r}$
$\dbinom{n}{r} = \dbinom{n-1}{r-1} + \dbinom{n-1}{r}$ （帕斯卡恒等式）
$\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n$
$\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \cdots + (-1)^n \dbinom{n}{n} = 0$
$\dbinom{m+n}{r} = \sum_{k=0}^{r} \dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k}$ （范德蒙德恒等式）
$\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}^2 = \dbinom{2n}{n}$