前置知识: 概率论与数理统计

方差与标准差

7 minIntermediate2026/6/14

方差与标准差的定义、性质、常用分布的方差、切比雪夫不等式。

1. 方差的定义

1.1 定义

设 XX 是随机变量，若 E[X−E(X)]2E[X - E(X)]^2 存在，则称

D(X)=Var(X)=E[X−E(X)]2D(X) = \text{Var}(X) = E[X - E(X)]^2

为 XX 的方差。

1.2 方差的计算公式

D(X)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E[X - E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2

这是最常用的方差计算公式。

推导：

D(X)=E[X−E(X)]2=E[X2−2XE(X)+E(X)2]=E(X2)−2E(X)⋅E(X)+E(X)2=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E[X - E(X)]^2 = E[X^2 - 2XE(X) + E(X)^2] = E(X^2) - 2E(X) \cdot E(X) + E(X)^2 = E(X^2) - [E(X)]^2

1.3 离散型与连续型的计算

离散型：

D(X)=∑k=1∞[xk−E(X)]2pk=∑k=1∞xk2pk−[E(X)]2D(X) = \sum_{k=1}^{\infty} [x_k - E(X)]^2 p_k = \sum_{k=1}^{\infty} x_k^2 p_k - [E(X)]^2

连续型：

D(X)=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x) dx=∫−∞+∞x2f(x) dx−[E(X)]2D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x - E(X)]^2 f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx - [E(X)]^2

2. 标准差

2.1 定义

方差的算术平方根称为标准差（或均方差）：

σ(X)=D(X)\sigma(X) = \sqrt{D(X)}

2.2 标准差的意义

标准差与 XX 具有相同的量纲，更便于实际解释。它衡量了随机变量取值偏离均值的平均程度。

3. 方差的性质

3.1 基本性质

  1. 非负性：D(X)≥0D(X) \geq 0，且 D(X)=0  ⟺  P(X=C)=1D(X) = 0 \iff P(X = C) = 1

  2. 常数方差：D(C)=0D(C) = 0

  3. 线性变换：D(aX+b)=a2D(X)D(aX + b) = a^2 D(X)

  4. 独立可加性：若 XX 与 YY 独立，则 D(X±Y)=D(X)+D(Y)D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)

  5. 一般公式：D(X±Y)=D(X)+D(Y)∓2Cov(X,Y)D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \mp 2\text{Cov}(X, Y)

  6. 标准化：若 D(X)>0D(X) > 0，则 D(X−E(X)D(X))=1D\left(\dfrac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right) = 1

3.2 性质的证明

性质3：D(aX+b)=E[(aX+b)−E(aX+b)]2=E[aX−aE(X)]2=a2E[X−E(X)]2=a2D(X)D(aX + b) = E[(aX + b) - E(aX + b)]^2 = E[aX - aE(X)]^2 = a^2 E[X - E(X)]^2 = a^2 D(X)

性质4：D(X+Y)=E[(X+Y)2]−[E(X+Y)]2D(X + Y) = E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2

=E(X2)+2E(XY)+E(Y2)−[E(X)]2−2E(X)E(Y)−[E(Y)]2= E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - [E(X)]^2 - 2E(X)E(Y) - [E(Y)]^2

当 XX 与 YY 独立时，E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y)，故

D(X+Y)=E(X2)−[E(X)]2+E(Y2)−[E(Y)]2=D(X)+D(Y)D(X + Y) = E(X^2) - [E(X)]^2 + E(Y^2) - [E(Y)]^2 = D(X) + D(Y)

4. 常用分布的方差

4.1 方差推导示例

二项分布 B(n,p)B(n, p)：

X=X1+X2+⋯+XnX = X_1 + X_2 + \cdots + X_n，XiX_i 独立同分布，Xi∼B(1,p)X_i \sim B(1, p)。

D(Xi)=E(Xi2)−[E(Xi)]2=p−p2=p(1−p)D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = p - p^2 = p(1-p)

D(X)=np(1−p)D(X) = np(1-p)

泊松分布 P(λ)P(\lambda)：

E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λ(λ+1)E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda(\lambda + 1)

D(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ(λ+1)−λ2=λD(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \lambda(\lambda + 1) - \lambda^2 = \lambda

均匀分布 U(a,b)U(a, b)：

E(X2)=∫abx2b−adx=a2+ab+b23E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b-a} dx = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}

D(X)=a2+ab+b23−(a+b2)2=(b−a)212D(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{12}

指数分布 Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)：

E(X2)=∫0+∞x2λe−λxdx=2λ2E(X^2) = \int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx = \frac{2}{\lambda^2}

D(X)=2λ2−1λ2=1λ2D(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}

正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)：

D(X)=σ2D(X) = \sigma^2

4.2 常用分布的方差汇总

分布期望方差
B(1,p)B(1, p)ppp(1−p)p(1-p)
B(n,p)B(n, p)npnpnp(1−p)np(1-p)
P(λ)P(\lambda)λ\lambdaλ\lambda
G(p)G(p)1p\dfrac{1}{p}1−pp2\dfrac{1-p}{p^2}
U(a,b)U(a, b)a+b2\dfrac{a+b}{2}(b−a)212\dfrac{(b-a)^2}{12}
Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)1λ\dfrac{1}{\lambda}1λ2\dfrac{1}{\lambda^2}
N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)μ\muσ2\sigma^2

5. 变异系数

5.1 定义

CV=D(X)E(X)=σμC_V = \frac{\sqrt{D(X)}}{E(X)} = \frac{\sigma}{\mu}

称为变异系数（或离散系数）。

5.2 意义

变异系数消除了量纲和均值大小的影响，可以比较不同量纲或不同均值水平的随机变量的离散程度。

6. 方差的应用

6.1 风险度量

在金融中，方差常作为投资风险的度量。方差越大，收益的不确定性越高。

6.2 精度评估

在测量和统计中，方差反映了估计的精度。方差越小，估计越精确。

6.3 投资组合

设两种资产的收益率分别为 XX 和 YY，权重为 ww 和 1−w1-w，则组合收益 R=wX+(1−w)YR = wX + (1-w)Y 的方差为

D(R)=w2D(X)+(1−w)2D(Y)+2w(1−w)Cov(X,Y)D(R) = w^2 D(X) + (1-w)^2 D(Y) + 2w(1-w)\text{Cov}(X, Y)

通过选择适当的权重，可以在给定期望收益下最小化方差（马科维茨投资组合理论）。