事件的独立性

1. 两个事件的独立性

1.1 独立性的定义

设 $A, B$ 是两个事件，若

$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，简称独立。

等价地，若 $P(B) > 0$，则 $A$ 与 $B$ 独立等价于

$P(A \mid B) = P(A)$

即事件 $B$ 的发生不影响事件 $A$ 发生的概率。

1.2 独立性的判定方法

1. 定义法：验证 $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$
2. 条件概率法：验证 $P(A \mid B) = P(A)$ 或 $P(B \mid A) = P(B)$
3. 直观判断：根据实际意义判断一个事件的发生是否影响另一个事件

1.3 独立性的重要性质

性质1：若 $A$ 与 $B$ 独立，则下列各对事件也独立：

• $A$ 与 $\bar{B}$
• $\bar{A}$ 与 $B$
• $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$

证明（以 $A$ 与 $\bar{B}$ 为例）：

$P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(\bar{B})$

性质2：$\varnothing$ 与任何事件独立；$\Omega$ 与任何事件独立。

性质3：若 $P(A) = 0$ 或 $P(A) = 1$，则 $A$ 与任何事件独立。

1.4 独立性与互斥的区别

重要结论：若 $P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$，则 $A$ 与 $B$ 互斥和独立不能同时成立。

直观理解：互斥意味着”一个发生则另一个必不发生”，这恰恰说明一个事件的发生影响了另一个事件，因此不独立。

2. 多个事件的独立性

2.1 三个事件的独立性

设 $A, B, C$ 是三个事件，若满足以下四个条件：

1. $P(AB) = P(A)P(B)$
2. $P(AC) = P(A)P(C)$
3. $P(BC) = P(B)P(C)$
4. $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

则称 $A, B, C$ 相互独立。

若仅满足前三个条件，则称 $A, B, C$ 两两独立。

注意：两两独立 $\not\Rightarrow$ 相互独立。

2.2 反例：两两独立但不相互独立

示例：掷两枚硬币，设

• $A$：第一枚正面朝上
• $B$：第二枚正面朝上
• $C$：两枚硬币结果相同

则 $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$，$A = \{HH, HT\}$，$B = \{HH, TH\}$，$C = \{HH, TT\}$。

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$

$P(AB) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4} = P(A)P(B) \quad \checkmark$

$P(AC) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4} = P(A)P(C) \quad \checkmark$

$P(BC) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4} = P(B)P(C) \quad \checkmark$

$P(ABC) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4} \neq P(A)P(B)P(C) = \frac{1}{8} \quad \times$

$A, B, C$ 两两独立但不相互独立。

2.3 反例：$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$ 但不两两独立

示例：设 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，每个样本点等概率，$A = \{1, 2, 3, 4\}$，$B = \{1, 2, 5, 6\}$，$C = \{1, 3, 5, 7\}$。

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$

$P(AB) = P(\{1, 2\}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = P(A)P(B) \quad \checkmark$

$P(AC) = P(\{1, 3\}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = P(A)P(C) \quad \checkmark$

$P(BC) = P(\{1, 5\}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = P(B)P(C) \quad \checkmark$

$P(ABC) = P(\{1\}) = \frac{1}{8} = P(A)P(B)P(C) \quad \checkmark$

此例恰好两两独立且相互独立。构造不两两独立但 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$ 的例子需要更精巧的设计。

2.4 $n$ 个事件的独立性

设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是 $n$ 个事件，若对其中任意 $k$ 个事件 $A_{i_1}, A_{i_2}, \cdots, A_{i_k}$（$2 \leq k \leq n$），都有

$P(A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})$

则称 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立。

$n$ 个事件相互独立需要验证 $\dbinom{n}{2} + \dbinom{n}{3} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n - n - 1$ 个等式。

2.5 独立事件的性质

若 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立，则：

1. 将其中任意多个事件换成其对立事件，所得的 $n$ 个事件仍相互独立
2. 其中任意 $k$ 个（$1 \leq k \leq n$）事件相互独立
3. $P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = 1 - \prod_{i=1}^{n} P(\bar{A}_i) = 1 - \prod_{i=1}^{n}(1 - P(A_i))$

性质 3 是计算”至少一个发生”概率的重要公式。

3. 独立性的应用

3.1 独立重复试验

若 $n$ 次试验中各次试验的结果互不影响，则称这 $n$ 次试验为独立重复试验。

在独立重复试验中，若每次试验只有两个可能结果（$A$ 和 $\bar{A}$），且 $P(A) = p$ 保持不变，则称为 $n$ 重伯努利试验。

3.2 系统可靠性

串联系统：$n$ 个元件串联，各元件独立工作，可靠度分别为 $p_1, p_2, \cdots, p_n$，系统可靠度为

$R = \prod_{i=1}^{n} p_i$

并联系统：$n$ 个元件并联，系统可靠度为

$R = 1 - \prod_{i=1}^{n}(1 - p_i)$

3.3 独立性与条件概率的综合应用

例题：甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能破译的概率分别为 $\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}$，求密码被破译的概率。

解：设 $A, B, C$ 分别为甲、乙、丙破译密码，则

$P(A \cup B \cup C) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C}) = 1 - \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$