假设检验基本概念

1. 假设检验的基本思想

1.1 统计假设

统计假设是关于总体分布中未知参数或分布形式的陈述。

• 参数假设：关于参数的假设，如 $H: \mu = \mu_0$
• 非参数假设：关于分布形式的假设，如 $H: X \sim N(\mu, \sigma^2)$

1.2 原假设与备择假设

• 原假设（零假设）$H_0$：需要检验的假设，通常表示”没有效果”、“没有差异”
• 备择假设（对立假设）$H_1$（或 $H_A$）：与原假设对立的假设

三种形式：

1.3 假设检验的逻辑

假设检验采用反证法的思想：

1. 假设 $H_0$ 成立
2. 在 $H_0$ 下，推导样本应满足的结论
3. 若样本观测值与结论矛盾（小概率事件发生），则拒绝 $H_0$
4. 若不矛盾，则不能拒绝 $H_0$（但不等于接受 $H_0$）

2. 两类错误

2.1 定义

• 第一类错误（弃真错误）：$H_0$ 为真时拒绝 $H_0$，概率为 $\alpha$
• 第二类错误（取伪错误）：$H_0$ 为假时不拒绝 $H_0$，概率为 $\beta$

2.2 显著性水平

$\alpha = P(\text{拒绝 } H_0 \mid H_0 \text{ 为真})$

$\alpha$ 称为显著性水平，通常取 $\alpha = 0.05$ 或 $\alpha = 0.01$。

2.3 两类错误的关系

• 在样本量固定时，减小 $\alpha$ 会增大 $\beta$，反之亦然
• 同时减小 $\alpha$ 和 $\beta$ 的唯一方法是增大样本量
• Neyman-Pearson 原则：在控制 $\alpha$ 的条件下，使 $\beta$ 尽可能小

2.4 检验的功效

$1 - \beta = P(\text{拒绝 } H_0 \mid H_1 \text{ 为真})$

称为检验的功效（或势函数）。功效越大，检验越好。

3. 检验统计量与拒绝域

3.1 检验统计量

用于检验假设的统计量称为检验统计量，通常选择在 $H_0$ 下分布已知的枢轴量。

3.2 拒绝域

使 $H_0$ 被拒绝的检验统计量的取值范围称为拒绝域（或临界域），记作 $W$。

• 双侧检验：$W = \{|T| > c\}$
• 右侧检验：$W = \{T > c\}$
• 左侧检验：$W = \{T < c\}$

3.3 临界值

拒绝域的边界值称为临界值，由显著性水平 $\alpha$ 和检验统计量的分布确定。

4. P 值

4.1 定义

P 值是在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量取到观测值及更极端值的概率。

$\text{P 值} = P(\text{检验统计量} \geq \text{观测值} \mid H_0)$

4.2 P 值的判断

• 若 $\text{P 值} \leq \alpha$，拒绝 $H_0$
• 若 $\text{P 值} > \alpha$，不拒绝 $H_0$

4.3 P 值的意义

P 值越小，反对 $H_0$ 的证据越强：

• $P < 0.01$：非常显著
• $0.01 \leq P < 0.05$：显著
• $0.05 \leq P < 0.10$：边缘显著
• $P \geq 0.10$：不显著

5. 假设检验的步骤

1. 提出假设：根据问题建立 $H_0$ 和 $H_1$
2. 选择检验统计量：确定在 $H_0$ 下分布已知的统计量
3. 确定显著性水平：通常取 $\alpha = 0.05$
4. 计算检验统计量的值：由样本数据计算
5. 确定拒绝域：由 $\alpha$ 和统计量的分布确定
6. 做出决策：比较统计量的值与临界值，或比较 P 值与 $\alpha$
7. 得出结论：在问题背景下解释检验结果

6. 假设检验的注意事项

6.1 统计显著 vs 实际显著

统计显著性只说明结果不太可能由偶然因素产生，不代表实际意义大。效应量（effect size）也是重要的。

6.2 不能拒绝 ≠ 接受

“不能拒绝 $H_0$“不等于”接受 $H_0$“。只能说当前证据不足以拒绝 $H_0$。

6.3 多重检验

同时进行多个检验时，犯第一类错误的概率会增大，需要进行校正（如 Bonferroni 校正）。