前置知识: 概率论与数理统计

区间估计

6 minIntermediate2026/6/14

置信区间的概念、构造方法、单侧置信区间。

1. 置信区间的概念

1.1 定义

设 θ\theta 为总体分布的未知参数，X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_n 为样本。若存在统计量 θ‾=θ‾(X1,⋯ ,Xn)\underline{\theta} = \underline{\theta}(X_1, \cdots, X_n) 和 θ‾=θ‾(X1,⋯ ,Xn)\overline{\theta} = \overline{\theta}(X_1, \cdots, X_n)，使得对给定的 α∈(0,1)\alpha \in (0, 1)，

P(θ‾<θ<θ‾)=1−αP(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha

则称随机区间 (θ‾,θ‾)(\underline{\theta}, \overline{\theta}) 为 θ\theta 的置信水平为 1−α1 - \alpha 的置信区间，θ‾\underline{\theta} 和 θ‾\overline{\theta} 分别称为置信下限和置信上限，1−α1 - \alpha 称为置信水平（或置信度）。

1.2 置信水平的含义

P(θ‾<θ<θ‾)=1−αP(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha 的含义是：反复抽样多次，每个样本确定一个区间，在这些区间中包含 θ\theta 真值的比例约为 1−α1 - \alpha。

注意：参数 θ\theta 是固定但未知的常数，区间 (θ‾,θ‾)(\underline{\theta}, \overline{\theta}) 是随机的。

1.3 置信水平与精度的关系

  • 置信水平 1−α1 - \alpha 越大，区间越宽，精度越低
  • 置信水平 1−α1 - \alpha 越小，区间越窄，精度越高
  • 在置信水平一定时，增大样本量可以缩小区间宽度

2. 置信区间的构造方法

2.1 枢轴量法

构造置信区间的基本方法是枢轴量法：

  1. 找一个包含 θ\theta 和样本的函数 G(X1,⋯ ,Xn;θ)G(X_1, \cdots, X_n; \theta)，其分布已知且不依赖于 θ\theta，称为枢轴量
  2. 对给定的 α\alpha，找常数 a,ba, b 使得 P(a<G<b)=1−αP(a < G < b) = 1 - \alpha
  3. 由 a<G<ba < G < b 解出 θ‾<θ<θ‾\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}

2.2 枢轴量的选择

枢轴量通常基于抽样分布：

参数条件枢轴量分布
μ\muσ\sigma 已知Xˉ−μσ/n\dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}N(0,1)N(0,1)
μ\muσ\sigma 未知Xˉ−μS/n\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}t(n−1)t(n-1)
σ2\sigma^2μ\mu 未知(n−1)S2σ2\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}χ2(n−1)\chi^2(n-1)

3. 单侧置信区间

3.1 定义

若 P(θ>θ‾)=1−αP(\theta > \underline{\theta}) = 1 - \alpha，则 (θ‾,+∞)(\underline{\theta}, +\infty) 为 θ\theta 的单侧置信区间，θ‾\underline{\theta} 为单侧置信下限。

若 P(θ<θ‾)=1−αP(\theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha，则 (−∞,θ‾)(-\infty, \overline{\theta}) 为 θ\theta 的单侧置信区间，θ‾\overline{\theta} 为单侧置信上限。

3.2 单侧与双侧的关系

双侧置信水平 1−α1 - \alpha 的置信区间对应单侧置信水平 1−α/21 - \alpha/2。

例如，μ\mu 的 95%95\% 双侧置信区间使用 z0.025=1.96z_{0.025} = 1.96，而 97.5%97.5\% 单侧置信上限使用 z0.025=1.96z_{0.025} = 1.96。

4. 置信区间的评价

4.1 精确置信区间

基于精确抽样分布构造的置信区间，其置信水平恰好等于 1−α1 - \alpha。

4.2 近似置信区间

基于渐近分布（如中心极限定理）构造的置信区间，其置信水平近似等于 1−α1 - \alpha。

4.3 置信区间的宽度

置信区间的宽度 θ‾−θ‾\overline{\theta} - \underline{\theta} 反映了估计的精度。在置信水平相同的条件下，宽度越小越好。

5. 置信区间的常见误解

  1. 误解：θ\theta 有 1−α1 - \alpha 的概率落在置信区间内

    正解：参数 θ\theta 是常数，不是随机变量。随机的是区间，不是参数

  2. 误解：95%95\% 置信区间意味着 θ\theta 落在该区间内的概率是 0.950.95

    正解：如果重复抽样 100 次，大约有 95 个区间包含 θ\theta

  3. 误解：置信水平越高越好

    正解：置信水平越高，区间越宽，精度越低。需要在置信水平和精度之间权衡