抽样分布典型例题

1. 统计量

例题1

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本，$E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$，求 $E(\bar{X})$，$D(\bar{X})$ 和 $E(S^2)$。

解：

$E(\bar{X}) = \mu, \quad D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}, \quad E(S^2) = \sigma^2$

例题2

设 $X_1, X_2, \cdots, X_7$ 为来自 $N(0, 1)$ 的样本，求 $E(\bar{X}^2)$ 和 $D(\bar{X}^2)$。

解：$\bar{X} \sim N(0, 1/7)$，$\dfrac{\bar{X}}{1/\sqrt{7}} = \sqrt{7}\bar{X} \sim N(0, 1)$。

$7\bar{X}^2 \sim \chi^2(1)$

$E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{1}{7}$

$D(\bar{X}^2) = D\left(\frac{\chi^2(1)}{7}\right) = \frac{2}{49}$

例题3

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，求 $E(\bar{X}^2)$。

解：

$E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$

2. χ² 分布

例题4

设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 为来自 $N(0, 4)$ 的样本，求 $a$ 使得 $P\left(\sum_{i=1}^6 X_i^2 > a\right) = 0.05$。

解：$\dfrac{X_i}{2} \sim N(0, 1)$，$\sum_{i=1}^6 \dfrac{X_i^2}{4} = \dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^6 X_i^2 \sim \chi^2(6)$。

$P\left(\sum_{i=1}^6 X_i^2 > a\right) = P\left(\frac{1}{4}\sum_{i=1}^6 X_i^2 > \frac{a}{4}\right) = 0.05$

$\frac{a}{4} = \chi^2_{0.05}(6) = 12.592$

$a = 50.368$

例题5

设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，求 $P\left(\dfrac{S^2}{\sigma^2} > 2\right)$。

解：$\dfrac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9)$。

$P\left(\frac{S^2}{\sigma^2} > 2\right) = P\left(\frac{9S^2}{\sigma^2} > 18\right)$

查 $\chi^2$ 分布表，$\chi^2_{0.05}(9) = 16.919$，$\chi^2_{0.025}(9) = 19.023$。

$P(\chi^2(9) > 18) \approx 0.035$。

3. t 分布

例题6

设 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 为来自 $N(\mu, 4)$ 的样本，求 $P(|\bar{X} - \mu| < 1)$。

解：$\sigma = 2$ 已知，$\dfrac{\bar{X} - \mu}{2/3} \sim N(0, 1)$。

$P(|\bar{X} - \mu| < 1) = P\left(\left|\frac{\bar{X} - \mu}{2/3}\right| < 1.5\right) = 2\Phi(1.5) - 1 = 2 \times 0.9332 - 1 = 0.8664$

例题7

设 $X_1, X_2, \cdots, X_{16}$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本（$\sigma$ 未知），求 $P(|\bar{X} - \mu| < 0.5S)$。

解：$T = \dfrac{\bar{X} - \mu}{S/4} \sim t(15)$。

$P(|\bar{X} - \mu| < 0.5S) = P\left(\left|\frac{\bar{X} - \mu}{S/4}\right| < 2\right) = P(|T| < 2)$

查 $t$ 分布表，$t_{0.025}(15) = 2.131$，$t_{0.05}(15) = 1.753$。

$P(|T| < 2) \approx 2 \times 0.965 - 1 = 0.93$（近似值）。

例题8

设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自 $N(0, 1)$ 的样本，求 $a$ 和 $b$ 使得 $Y = a(X_1 - X_2)^2 + b(X_3 + X_4)^2 \sim \chi^2(2)$。

解：$X_1 - X_2 \sim N(0, 2)$，$\dfrac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)$，$(X_1 - X_2)^2/2 \sim \chi^2(1)$。

$X_3 + X_4 \sim N(0, 2)$，$(X_3 + X_4)^2/2 \sim \chi^2(1)$。

两者独立，故 $Y = \dfrac{(X_1 - X_2)^2}{2} + \dfrac{(X_3 + X_4)^2}{2} \sim \chi^2(2)$。

$a = b = \dfrac{1}{2}$。

4. F 分布

例题9

设 $X_1, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, \cdots, Y_{10}$ 分别来自 $N(\mu_1, \sigma^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma^2)$，求 $P(S_1^2 > 2S_2^2)$。

解：$\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(7, 9)$。

$P(S_1^2 > 2S_2^2) = P\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} > 2\right) = P(F(7, 9) > 2)$

查 $F$ 分布表，$F_{0.10}(7, 9) = 2.51$，$F_{0.25}(7, 9) = 1.57$。

$P(F(7, 9) > 2) \approx 0.15$（近似值）。

例题10

设 $X_1, \cdots, X_5$ 和 $Y_1, \cdots, Y_6$ 分别来自 $N(0, \sigma_1^2)$ 和 $N(0, \sigma_2^2)$，求 $\dfrac{\sum X_i^2 / 5\sigma_1^2}{\sum Y_i^2 / 6\sigma_2^2}$ 的分布。

解：$\dfrac{\sum_{i=1}^5 X_i^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(5)$，$\dfrac{\sum_{j=1}^6 Y_j^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(6)$。

$\frac{\sum X_i^2 / 5\sigma_1^2}{\sum Y_i^2 / 6\sigma_2^2} = \frac{\chi^2(5)/5}{\chi^2(6)/6} \sim F(5, 6)$

5. 综合题

例题11

设 $X_1, \cdots, X_{25}$ 为来自 $N(3, 100)$ 的样本，求 $P(0 < \bar{X} - 3 < 6)$ 和 $P(S^2 > 62.5)$。

解：

（1）$\bar{X} \sim N(3, 4)$，$\dfrac{\bar{X} - 3}{2} \sim N(0, 1)$。

$P(0 < \bar{X} - 3 < 6) = P(0 < Z < 3) = \Phi(3) - \Phi(0) = 0.9987 - 0.5 = 0.4987$

（2）$\dfrac{24S^2}{100} \sim \chi^2(24)$。

$P(S^2 > 62.5) = P\left(\frac{24S^2}{100} > 15\right)$

$\chi^2_{0.90}(24) = 15.659$，故 $P(\chi^2(24) > 15) \approx 0.92$。

例题12

设 $X_1, \cdots, X_n$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，证明 $\bar{X}$ 与 $X_i - \bar{X}$ 不相关。

证明：

$\text{Cov}(\bar{X}, X_i - \bar{X}) = \text{Cov}(\bar{X}, X_i) - \text{Cov}(\bar{X}, \bar{X})$

$= \frac{\sigma^2}{n} - \frac{\sigma^2}{n} = 0$

由于正态分布中不相关等价于独立，故 $\bar{X}$ 与 $X_i - \bar{X}$ 独立。

例题13

设 $X_1, \cdots, X_{10}$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$S^2$ 为样本方差，已知 $P(S^2 > \sigma^2) = 0.5$，求 $P(S^2 > 2\sigma^2)$。

解：$\dfrac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9)$。

$P(S^2 > \sigma^2) = P(\chi^2(9) > 9) = 0.5$（因为 $\chi^2$ 分布的中位数在自由度附近）。

$P(S^2 > 2\sigma^2) = P(\chi^2(9) > 18)$。

查表：$\chi^2_{0.05}(9) = 16.919$，$\chi^2_{0.025}(9) = 19.023$。

$P(\chi^2(9) > 18) \approx 0.035$。

例题14

设 $X_1, \cdots, X_6$ 为来自 $N(0, 1)$ 的样本，求 $Y = \dfrac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{X_4^2 + X_5^2 + X_6^2}}$ 的分布。

解：$X_1 + X_2 + X_3 \sim N(0, 3)$，$\dfrac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}} \sim N(0, 1)$。

$X_4^2 + X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(3)$。

$Y = \frac{(X_1 + X_2 + X_3)/\sqrt{3}}{\sqrt{(X_4^2 + X_5^2 + X_6^2)/3}} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(3)/3}} \sim t(3)$

例题15

设 $X_1, \cdots, X_{20}$ 为来自 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，求 $a$ 和 $b$ 使得 $P\left(a < \sum_{i=1}^{20} X_i^2 < b\right) = 0.90$，且 $P\left(\sum_{i=1}^{20} X_i^2 < a\right) = P\left(\sum_{i=1}^{20} X_i^2 > b\right) = 0.05$。

解：$\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{20} X_i^2 \sim \chi^2(20)$。

$a = \sigma^2 \chi^2_{0.95}(20) = \sigma^2 \times 10.851$

$b = \sigma^2 \chi^2_{0.05}(20) = \sigma^2 \times 31.410$