前置知识: 概率论与数理统计

数学期望

7 minIntermediate2026/6/14

数学期望的定义、性质、随机变量函数的期望、条件期望。

1. 数学期望的定义

1.1 离散型随机变量的期望

设离散型随机变量 XX 的分布律为 P(X=xk)=pkP(X = x_k) = p_k（k=1,2,⋯k = 1, 2, \cdots），若级数 ∑k=1∞∣xk∣pk\sum_{k=1}^{\infty} |x_k| p_k 收敛，则称

E(X)=∑k=1∞xkpkE(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k

为 XX 的数学期望（简称期望或均值）。

注意：要求级数绝对收敛。若 ∑∣xk∣pk=+∞\sum |x_k| p_k = +\infty，则称 XX 的期望不存在。

1.2 连续型随机变量的期望

设连续型随机变量 XX 的密度函数为 f(x)f(x)，若积分 ∫−∞+∞∣x∣f(x) dx\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x) \, dx 收敛，则称

E(X)=∫−∞+∞xf(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx

为 XX 的数学期望。

1.3 期望的直观意义

数学期望是随机变量取值的”加权平均”，权重为各取值的概率。它反映了随机变量取值的中心位置。

2. 随机变量函数的期望

2.1 一维随机变量函数的期望

离散型：设 Y=g(X)Y = g(X)，则

E(Y)=E[g(X)]=∑k=1∞g(xk)pkE(Y) = E[g(X)] = \sum_{k=1}^{\infty} g(x_k) p_k

连续型：设 Y=g(X)Y = g(X)，则

E(Y)=E[g(X)]=∫−∞+∞g(x)f(x) dxE(Y) = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \, dx

重要：不需要先求 YY 的分布，可以直接用 XX 的分布计算 E[g(X)]E[g(X)]。

2.2 二维随机变量函数的期望

离散型：

E[g(X,Y)]=∑i=1∞∑j=1∞g(xi,yj)pijE[g(X, Y)] = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} g(x_i, y_j) p_{ij}

连续型：

E[g(X,Y)]=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y) dx dyE[g(X, Y)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \, dx \, dy

3. 数学期望的性质

3.1 基本性质

  1. 常数性质：E(C)=CE(C) = C（CC 为常数）

  2. 线性性质：E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b

  3. 可加性：E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y)（无论 X,YX, Y 是否独立）

  4. 乘法性质：若 XX 与 YY 独立，则 E(XY)=E(X)⋅E(Y)E(XY) = E(X) \cdot E(Y)

    注意：反之不成立，即 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y) 不能推出 XX 与 YY 独立。

  5. 推广：E(∑i=1naiXi)=∑i=1naiE(Xi)E\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i E(X_i)

3.2 性质的应用

例题：设 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)，利用性质求 E(X)E(X)。

解：XX 可表示为 nn 个独立 0-1 变量之和：X=X1+X2+⋯+XnX = X_1 + X_2 + \cdots + X_n，其中 Xi∼B(1,p)X_i \sim B(1, p)，E(Xi)=pE(X_i) = p。

E(X)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)=npE(X) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = np

4. 常用分布的期望

分布期望
B(1,p)B(1, p)pp
B(n,p)B(n, p)npnp
P(λ)P(\lambda)λ\lambda
G(p)G(p)1p\dfrac{1}{p}
U(a,b)U(a, b)a+b2\dfrac{a+b}{2}
Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)1λ\dfrac{1}{\lambda}
N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)μ\mu

5. 条件期望

5.1 定义

离散型：在 Y=yjY = y_j 条件下 XX 的条件期望为

E(X∣Y=yj)=∑i=1∞xiP(X=xi∣Y=yj)E(X \mid Y = y_j) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i P(X = x_i \mid Y = y_j)

连续型：在 Y=yY = y 条件下 XX 的条件期望为

E(X∣Y=y)=∫−∞+∞xfX∣Y(x∣y) dxE(X \mid Y = y) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X \mid Y}(x \mid y) \, dx

5.2 全期望公式

E(X)=E[E(X∣Y)]E(X) = E[E(X \mid Y)]

即

E(X)={∑jE(X∣Y=yj)P(Y=yj),离散型∫−∞+∞E(X∣Y=y)fY(y) dy,连续型E(X) = \begin{cases} \sum_{j} E(X \mid Y = y_j) P(Y = y_j), & \text{离散型} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} E(X \mid Y = y) f_Y(y) \, dy, & \text{连续型} \end{cases}

5.3 全期望公式的应用

例题：某商店每天的顾客数 N∼P(50)N \sim P(50)，每位顾客的消费金额 Xi∼Exp(0.01)X_i \sim \text{Exp}(0.01)（独立同分布），且 NN 与 {Xi}\{X_i\} 独立。求商店每天的总营业额期望。

解：设总营业额 S=∑i=1NXiS = \sum_{i=1}^N X_i。

E(S)=E[E(S∣N)]=E[N⋅E(X1)]=E(N)⋅E(X1)=50×100=5000E(S) = E[E(S \mid N)] = E[N \cdot E(X_1)] = E(N) \cdot E(X_1) = 50 \times 100 = 5000

6. 期望不存在的例子

6.1 柯西分布

设 XX 的密度为 f(x)=1π(1+x2)f(x) = \dfrac{1}{\pi(1 + x^2)}，则

E(∣X∣)=∫−∞+∞∣x∣π(1+x2) dx=2π∫0+∞x1+x2 dx=+∞E(|X|) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|x|}{\pi(1+x^2)} \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx = +\infty

故柯西分布的期望不存在。

6.2 期望存在但高阶矩不存在

设 XX 的密度为 f(x)=2x3f(x) = \dfrac{2}{x^3}（x>1x > 1），则

E(X)=∫1+∞x⋅2x3 dx=2∫1+∞1x2 dx=2E(X) = \int_1^{+\infty} x \cdot \frac{2}{x^3} \, dx = 2\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 2

但 E(X2)=∫1+∞x2⋅2x3 dx=2∫1+∞1x dx=+∞E(X^2) = \int_1^{+\infty} x^2 \cdot \frac{2}{x^3} \, dx = 2\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = +\infty，二阶矩不存在。