条件概率

1. 条件概率的定义

1.1 条件概率的直观理解

在实际问题中，除了要知道事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$，往往还需要知道在”事件 $B$ 已经发生”的条件下，事件 $A$ 发生的概率，这就是条件概率，记作 $P(A \mid B)$。

1.2 条件概率的严格定义

设 $A, B$ 是两个事件，且 $P(B) > 0$，则称

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

为在事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率。

类似地，若 $P(A) > 0$，则

$P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$

1.3 条件概率与无条件概率的关系

条件概率 $P(A \mid B)$ 与无条件概率 $P(A)$ 的关系有三种可能：

• $P(A \mid B) > P(A)$：事件 $B$ 的发生促进了事件 $A$ 的发生
• $P(A \mid B) = P(A)$：事件 $B$ 的发生不影响事件 $A$ 的发生（即 $A$ 与 $B$ 独立）
• $P(A \mid B) < P(A)$：事件 $B$ 的发生抑制了事件 $A$ 的发生

2. 条件概率的性质

2.1 概率空间的性质

对于固定的 $B$（$P(B) > 0$），条件概率 $P(\cdot \mid B)$ 满足概率的所有性质：

1. 非负性：$P(A \mid B) \geq 0$
2. 规范性：$P(\Omega \mid B) = 1$
3. 可列可加性：若 $A_1, A_2, \cdots$ 两两互斥，则

$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \biggm| B\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i \mid B)$

2.2 常用性质

1. $P(\bar{A} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$

2. $P(A_1 \cup A_2 \mid B) = P(A_1 \mid B) + P(A_2 \mid B) - P(A_1 A_2 \mid B)$

3. 若 $A_1 \subseteq A_2$，则 $P(A_1 \mid B) \leq P(A_2 \mid B)$

4. $P(A\bar{B} \mid B) = 0$（在 $B$ 发生的条件下，$\bar{B}$ 不可能发生）

2.3 条件概率的链式法则

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, \quad P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$

由此可得：

$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)$

3. 乘法公式

3.1 两个事件的乘法公式

$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)$

3.2 多个事件的乘法公式

设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为 $n$ 个事件，且 $P(A_1 A_2 \cdots A_{n-1}) > 0$，则

$P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid A_1 A_2) \cdots P(A_n \mid A_1 A_2 \cdots A_{n-1})$

证明思路：由条件概率定义逐步展开即可。

3.3 乘法公式的应用

例题：袋中有 5 个白球和 3 个黑球，不放回地依次取 3 个球，求取出的 3 个球都是白球的概率。

解：设 $A_i$ 表示第 $i$ 次取到白球（$i = 1, 2, 3$），则

$P(A_1) = \frac{5}{8}, \quad P(A_2 \mid A_1) = \frac{4}{7}, \quad P(A_3 \mid A_1 A_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(A_1 A_2 A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid A_1 A_2) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{28}$

4. 条件概率的计算方法

4.1 定义法

直接利用条件概率的定义计算：

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

适用于已知 $P(AB)$ 和 $P(B)$ 的情况。

4.2 缩小样本空间法

在 $B$ 发生的条件下，样本空间从 $\Omega$ 缩小为 $B$，在缩小的样本空间 $B$ 中计算 $A$ 的概率。

例题：掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中一颗为 3 的概率。

解：两颗骰子点数之和为 7 的情况有：$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$，共 6 种。

其中一颗为 3 的情况有：$(3,4), (4,3)$，共 2 种。

$P(\text{一颗为3} \mid \text{和为7}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

4.3 利用概率公式

利用乘法公式、全概率公式等间接计算条件概率。

5. 条件概率的重要应用

5.1 逐步缩小范围

在复杂问题中，通过逐步添加条件来缩小问题范围，每一步使用条件概率。

5.2 序贯决策

在序贯决策问题中，每一步决策都依赖于前几步的结果，条件概率提供了自然的分析工具。

5.3 信息更新

条件概率反映了获得新信息后对概率的更新，这是贝叶斯统计的核心思想。

6. 常见错误与注意事项

1. 混淆 $P(AB)$ 与 $P(A \mid B)$：$P(AB)$ 是 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率，$P(A \mid B)$ 是在 $B$ 发生条件下 $A$ 发生的概率

2. 忽略条件概率的约束：$P(A \mid B)$ 要求 $P(B) > 0$

3. 错误地认为 $P(A \mid B) + P(A \mid \bar{B}) = 1$：实际上这两个条件概率一般不满足此等式

4. 注意区分：

   • $P(A \mid B)$：$B$ 发生条件下 $A$ 发生的概率
   • $P(B \mid A)$：$A$ 发生条件下 $B$ 发生的概率
   • 这两者一般不相等