前置知识: 概率论与数理统计

正态总体的抽样分布

8 minAdvanced2026/6/14

单正态总体和双正态总体的抽样分布定理，统计推断的理论基础。

1. 单正态总体的抽样分布

1.1 基本设定

设 X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_n 为来自正态总体 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本，Xˉ\bar{X} 为样本均值，S2S^2 为样本方差。

1.2 样本均值的分布

Xˉ∼N(μ,σ2n)\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

标准化：

Xˉ−μσ/n∼N(0,1)\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)

1.3 样本方差的分布

(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

1.4 样本均值与样本方差的独立性

定理：Xˉ\bar{X} 与 S2S^2 相互独立。

这是正态总体特有的重要性质，非正态总体一般不具备。

1.5 t 统计量的分布

Xˉ−μS/n∼t(n−1)\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

推导：

Xˉ−μσ/n∼N(0,1),(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1), \quad \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

由 Xˉ\bar{X} 与 S2S^2 独立：

T=Xˉ−μσ/n(n−1)S2σ2/(n−1)=Xˉ−μS/n∼t(n−1)T = \frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

1.6 单正态总体抽样分布汇总

统计量分布条件
Xˉ−μσ/n\dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}N(0,1)N(0, 1)σ\sigma 已知
(n−1)S2σ2\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}χ2(n−1)\chi^2(n-1)—
Xˉ−μS/n\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}t(n−1)t(n-1)σ\sigma 未知

2. 双正态总体的抽样分布

2.1 基本设定

设 X1,X2,⋯ ,Xn1X_1, X_2, \cdots, X_{n_1} 为来自 N(μ1,σ12)N(\mu_1, \sigma_1^2) 的样本，Y1,Y2,⋯ ,Yn2Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2} 为来自 N(μ2,σ22)N(\mu_2, \sigma_2^2) 的样本，两样本独立。

2.2 均值差的分布

σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 已知：

(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2∼N(0,1)\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0, 1)

σ12=σ22=σ2\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2 未知：

(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)Sw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)

其中

Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

为联合方差（合并方差）。

2.3 方差比的分布

S12/σ12S22/σ22∼F(n1−1,n2−1)\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)

特别地，当 σ12=σ22\sigma_1^2 = \sigma_2^2 时：

S12S22∼F(n1−1,n2−1)\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)

2.4 双正态总体抽样分布汇总

统计量分布条件
(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)σ12/n1+σ22/n2\dfrac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}N(0,1)N(0,1)σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2 已知
(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)Sw1/n1+1/n2\dfrac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}t(n1+n2−2)t(n_1+n_2-2)σ12=σ22\sigma_1^2=\sigma_2^2 未知
S12/S22σ12/σ22\dfrac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}F(n1−1,n2−1)F(n_1-1,n_2-1)—

3. 抽样分布的应用

3.1 参数估计

抽样分布是构造置信区间的基础：

  • σ\sigma 已知时，用 ZZ 统计量构造均值的置信区间
  • σ\sigma 未知时，用 tt 统计量构造均值的置信区间
  • 用 χ2\chi^2 统计量构造方差的置信区间
  • 用 FF 统计量构造方差比的置信区间

3.2 假设检验

抽样分布是确定拒绝域的基础：

  • ZZ 检验：σ\sigma 已知时的均值检验
  • tt 检验：σ\sigma 未知时的均值检验
  • χ2\chi^2 检验：方差检验
  • FF 检验：方差齐性检验

3.3 示例

例题：设 X1,⋯ ,X16X_1, \cdots, X_{16} 为来自 N(μ,4)N(\mu, 4) 的样本，求 P(∣Xˉ−μ∣<0.5)P(|\bar{X} - \mu| < 0.5)。

解：Xˉ∼N(μ,1/4)\bar{X} \sim N(\mu, 1/4)，Xˉ−μ1/2∼N(0,1)\dfrac{\bar{X} - \mu}{1/2} \sim N(0, 1)。

P(∣Xˉ−μ∣<0.5)=P(∣Xˉ−μ0.5∣<1)=2Φ(1)−1=0.6826P(|\bar{X} - \mu| < 0.5) = P\left(\left|\frac{\bar{X} - \mu}{0.5}\right| < 1\right) = 2\Phi(1) - 1 = 0.6826

例题：设 X1,⋯ ,X10X_1, \cdots, X_{10} 为来自 N(0,σ2)N(0, \sigma^2) 的样本，求 E(S2)E(S^2) 和 D(S2)D(S^2)。

解：9S2σ2∼χ2(9)\dfrac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9)。

E(9S2σ2)=9  ⟹  E(S2)=σ2E\left(\frac{9S^2}{\sigma^2}\right) = 9 \implies E(S^2) = \sigma^2

D(9S2σ2)=18  ⟹  D(S2)=18σ481=2σ49D\left(\frac{9S^2}{\sigma^2}\right) = 18 \implies D(S^2) = \frac{18\sigma^4}{81} = \frac{2\sigma^4}{9}