边缘分布

1. 边缘分布函数

1.1 定义

设 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$，则

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(X \leq x, Y < +\infty) = F(x, +\infty) = \lim_{y \to +\infty} F(x, y)$

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X < +\infty, Y \leq y) = F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} F(x, y)$

分别称为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数。

1.2 边缘分布与联合分布的关系

• 联合分布 $\Rightarrow$ 边缘分布（唯一确定）
• 边缘分布 $\not\Rightarrow$ 联合分布（不唯一确定）

不同的联合分布可以有相同的边缘分布。

2. 离散型随机变量的边缘分布

2.1 边缘分布律

设 $(X, Y)$ 的联合分布律为 $P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}$，则

$P(X = x_i) = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = p_{i\cdot}, \quad i = 1, 2, \cdots$

$P(Y = y_j) = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} = p_{\cdot j}, \quad j = 1, 2, \cdots$

分别称为关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布律。

2.2 计算方法

在联合分布律表中：

• $X$ 的边缘分布律：将每行求和，写在表的右边
• $Y$ 的边缘分布律：将每列求和，写在表的下边

2.3 示例

设 $(X, Y)$ 的联合分布律为：

$X$ 的边缘分布律：

$Y$ 的边缘分布律：

3. 连续型随机变量的边缘分布

3.1 边缘概率密度

设 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y)$，则

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy$

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx$

分别称为关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度。

3.2 计算要点

1. 确定联合密度 $f(x, y)$ 的非零区域
2. 对 $y$ 积分求 $f_X(x)$ 时，注意 $y$ 的积分范围可能依赖于 $x$
3. 对 $x$ 积分求 $f_Y(y)$ 时，注意 $x$ 的积分范围可能依赖于 $y$

3.3 示例

例题：设 $(X, Y)$ 的联合密度为

$f(x, y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。

解：

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy = \int_x^1 2 \, dy = 2(1 - x), \quad 0 < x < 1$

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx = \int_0^y 2 \, dx = 2y, \quad 0 < y < 1$

3.4 二维正态分布的边缘分布

设 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，则

$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), \quad Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$

边缘分布与参数 $\rho$ 无关，说明不同的联合分布（不同的 $\rho$）可以有相同的边缘分布。

4. 边缘分布与联合分布的关系

4.1 联合分布确定边缘分布

由联合分布可以唯一确定边缘分布，这是显然的。

4.2 边缘分布不能确定联合分布

反例：设 $(X, Y)$ 的联合密度为

$f_1(x, y) = \begin{cases} 4xy, & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

$f_2(x, y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

可以验证两者关于 $X$ 的边缘密度不同，但如果构造更精巧的例子，可以使得两个不同的联合分布具有相同的边缘分布。

4.3 独立时的特殊情况

当 $X$ 与 $Y$ 独立时，联合分布由边缘分布唯一确定：

$f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$

$P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$