F检验

1. 两总体方差比的 F 检验

1.1 适用条件

两个正态总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，检验方差是否相等（方差齐性检验）。

1.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
• 右侧：$H_0: \sigma_1^2 \leq \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$
• 左侧：$H_0: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2$

检验统计量：

$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)$

约定：在双侧检验中，将较大的样本方差放在分子上，使 $F \geq 1$。

拒绝域：

1.3 示例

例题：甲乙两台机床加工同种零件，分别抽取 10 件和 8 件，测得 $s_1^2 = 0.064$，$s_2^2 = 0.030$。在 $\alpha = 0.05$ 下检验两机床加工精度是否有显著差异。

解：

$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

$F = \frac{0.064}{0.030} = 2.133$

$F_{0.025}(9, 7) = 4.82$，$F = 2.133 < 4.82$，不拒绝 $H_0$。

两机床加工精度无显著差异。

1.4 F 检验在 t 检验中的作用

在进行双总体 t 检验之前，通常需要先进行 F 检验判断方差是否相等：

• 若 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$，使用等方差 t 检验
• 若 $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$，使用 Welch t 检验

2. 单因素方差分析

2.1 问题

比较 $k$ 个正态总体的均值是否相等。

2.2 模型

设 $k$ 个正态总体 $N(\mu_i, \sigma^2)$（$i = 1, 2, \cdots, k$），方差相等，从第 $i$ 个总体抽取 $n_i$ 个样本。

假设：$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$，$H_1: \mu_i$ 不全相等

2.3 方差分析表

其中：

$S_T = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X})^2$

$S_A = \sum_{i=1}^k n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2$

$S_E = S_T - S_A = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2$

2.4 检验

$F = \frac{\bar{S}_A}{\bar{S}_E} \sim F(k-1, n-k)$

拒绝域：$F > F_\alpha(k-1, n-k)$。

2.5 示例

例题：三种饲料对猪增重（kg）的试验数据如下：

饲料A：51, 40, 43, 48 饲料B：23, 32, 28, 35 饲料C：23, 25, 26, 18

在 $\alpha = 0.05$ 下检验三种饲料效果是否有显著差异。

解：

$\bar{X}_A = 45.5$，$\bar{X}_B = 29.5$，$\bar{X}_C = 23$，$\bar{X} = 32.67$

$S_A = 4(45.5 - 32.67)^2 + 4(29.5 - 32.67)^2 + 4(23 - 32.67)^2 = 657.6 + 40.1 + 374.7 = 1072.4$

$S_E = \sum(X_{ij} - \bar{X}_i)^2 = 74 + 82 + 34 = 190$

$F = \frac{1072.4/2}{190/9} = \frac{536.2}{21.1} = 25.41$

$F_{0.05}(2, 9) = 4.26$，$F = 25.41 > 4.26$，拒绝 $H_0$。

三种饲料效果有显著差异。

3. 方差分析的前提条件

1. 正态性：各总体服从正态分布
2. 方差齐性：各总体方差相等
3. 独立性：各样本相互独立

当方差齐性不满足时，可使用 Welch 方差分析或非参数方法（如 Kruskal-Wallis 检验）。