Z检验

1. 单总体均值的 Z 检验

1.1 适用条件

• 总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$ 已知
• 或总体分布未知，但大样本（$n \geq 30$），由中心极限定理近似

1.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0: \mu = \mu_0$，$H_1: \mu \neq \mu_0$
• 右侧：$H_0: \mu \leq \mu_0$，$H_1: \mu > \mu_0$
• 左侧：$H_0: \mu \geq \mu_0$，$H_1: \mu < \mu_0$

检验统计量：

$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

在 $H_0$ 成立时，$Z \sim N(0, 1)$。

拒绝域：

1.3 示例

例题：某工厂生产的灯泡寿命服从正态分布 $N(\mu, 100)$，标准规定平均寿命不低于 1000 小时。现抽取 25 只灯泡，测得平均寿命 $\bar{x} = 995$ 小时。在 $\alpha = 0.05$ 下检验灯泡寿命是否达标。

解：

$H_0: \mu \geq 1000$，$H_1: \mu < 1000$

$Z = \frac{995 - 1000}{10/5} = \frac{-5}{2} = -2.5$

$z_{0.05} = 1.645$，拒绝域 $Z < -1.645$。

$Z = -2.5 < -1.645$，拒绝 $H_0$，认为灯泡寿命不达标。

2. 双总体均值差的 Z 检验

2.1 适用条件

• 两个正态总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\sigma_1, \sigma_2$ 已知
• 或大样本近似

2.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0: \mu_1 - \mu_2 = d_0$，$H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq d_0$
• 右侧：$H_0: \mu_1 - \mu_2 \leq d_0$，$H_1: \mu_1 - \mu_2 > d_0$
• 左侧：$H_0: \mu_1 - \mu_2 \geq d_0$，$H_1: \mu_1 - \mu_2 < d_0$

（通常 $d_0 = 0$）

检验统计量：

$Z = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - d_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

在 $H_0$ 成立时，$Z \sim N(0, 1)$。

拒绝域：与单总体类似。

2.3 示例

例题：甲乙两台机床加工同一种零件，直径分别服从 $N(\mu_1, 0.04)$ 和 $N(\mu_2, 0.09)$。从甲机床抽取 6 件，$\bar{x} = 14.95$；从乙机床抽取 9 件，$\bar{y} = 15.02$。在 $\alpha = 0.05$ 下检验两机床加工精度是否有显著差异。

解：

$H_0: \mu_1 = \mu_2$，$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

$Z = \frac{14.95 - 15.02}{\sqrt{\frac{0.04}{6} + \frac{0.09}{9}}} = \frac{-0.07}{\sqrt{0.00667 + 0.01}} = \frac{-0.07}{0.129} = -0.543$

$z_{0.025} = 1.96$，$|Z| = 0.543 < 1.96$，不拒绝 $H_0$。

认为两机床加工精度无显著差异。

3. 大样本比例的 Z 检验

3.1 单总体比例

设 $X \sim B(n, p)$，$\hat{p} = X/n$。

$H_0: p = p_0, \quad H_1: p \neq p_0$

$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

当 $n$ 较大时，$Z$ 近似 $N(0, 1)$。

3.2 双总体比例差

$H_0: p_1 = p_2, \quad H_1: p_1 \neq p_2$

$Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

其中 $\hat{p} = \dfrac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2}$ 为合并比例。

3.3 示例

例题：某产品原不合格率为 5%，采用新工艺后抽查 200 件，发现 6 件不合格。在 $\alpha = 0.05$ 下检验新工艺是否降低了不合格率。

解：

$H_0: p \geq 0.05$，$H_1: p < 0.05$

$\hat{p} = \frac{6}{200} = 0.03$

$Z = \frac{0.03 - 0.05}{\sqrt{0.05 \times 0.95/200}} = \frac{-0.02}{0.01541} = -1.298$

$-z_{0.05} = -1.645$，$Z = -1.298 > -1.645$，不拒绝 $H_0$。

不能认为新工艺显著降低了不合格率。