事件的独立性

1. 两个事件的独立性

1.1 独立性的定义

设 $A,B$ 是两个事件，若

$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$

则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，简称独立。

等价地，若 $P(B)>0$，则 $A$ 与 $B$ 独立等价于

$P(A\mid B)=P(A)$

即事件 $B$ 的发生不影响事件 $A$ 发生的概率。

1.2 独立性的判定方法

1. 定义法：验证 $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$
2. 条件概率法：验证 $P(A\mid B)=P(A)$ 或 $P(B\mid A)=P(B)$
3. 直观判断：根据实际意义判断一个事件的发生是否影响另一个事件

1.3 独立性的重要性质

性质1：若 $A$ 与 $B$ 独立，则下列各对事件也独立：

• $A$ 与 $\bar{B}$
• $\bar{A}$ 与 $B$
• $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$

证明（以 $A$ 与 $\bar{B}$ 为例）：

$P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\bar{B})$

性质2：$\varnothing$ 与任何事件独立；$\Omega$ 与任何事件独立。

性质3：若 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$，则 $A$ 与任何事件独立。

1.4 独立性与互斥的区别

重要结论：若 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$，则 $A$ 与 $B$ 互斥和独立不能同时成立。

直观理解：互斥意味着”一个发生则另一个必不发生”，这恰恰说明一个事件的发生影响了另一个事件，因此不独立。

2. 多个事件的独立性

2.1 三个事件的独立性

设 $A,B,C$ 是三个事件，若满足以下四个条件：

1. $P(AB)=P(A)P(B)$
2. $P(AC)=P(A)P(C)$
3. $P(BC)=P(B)P(C)$
4. $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

则称 $A,B,C$ 相互独立。

若仅满足前三个条件，则称 $A,B,C$ 两两独立。

注意：两两独立 $\nRightarrow$ 相互独立。

2.2 反例：两两独立但不相互独立

示例：掷两枚硬币，设

• $A$：第一枚正面朝上
• $B$：第二枚正面朝上
• $C$：两枚硬币结果相同

则 $\Omega =\{HH,HT,TH,TT\}$，$A=\{HH,HT\}$，$B=\{HH,TH\}$，$C=\{HH,TT\}$。

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$

$P(AB)=P(\{HH\})=\frac{1}{4}=P(A)P(B)✓$

$P(AC)=P(\{HH\})=\frac{1}{4}=P(A)P(C)✓$

$P(BC)=P(\{HH\})=\frac{1}{4}=P(B)P(C)✓$

$P(ABC)=P(\{HH\})=\frac{1}{4}\ne P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{8}\times$

$A,B,C$ 两两独立但不相互独立。

2.3 反例：$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ 但不两两独立

示例：设 $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，每个样本点等概率，$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{1,2,5,6\}$，$C=\{1,3,5,7\}$。

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$

$P(AB)=P(\{1,2\})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=P(A)P(B)✓$

$P(AC)=P(\{1,3\})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=P(A)P(C)✓$

$P(BC)=P(\{1,5\})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=P(B)P(C)✓$

$P(ABC)=P(\{1\})=\frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C)✓$

此例恰好两两独立且相互独立。构造不两两独立但 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ 的例子需要更精巧的设计。

2.4 $n$ 个事件的独立性

设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是 $n$ 个事件，若对其中任意 $k$ 个事件 $A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_k}$（$2\le k\le n$），都有

$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$

则称 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立。

$n$ 个事件相互独立需要验证 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=2^n-n-1$ 个等式。

2.5 独立事件的性质

若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立，则：

1. 将其中任意多个事件换成其对立事件，所得的 $n$ 个事件仍相互独立
2. 其中任意 $k$ 个（$1\le k\le n$）事件相互独立
3. $P\left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)=1-{\prod }_{i=1}^{n}P({\bar{A}}_i)=1-{\prod }_{i=1}^n(1-P(A_i))$

性质 3 是计算”至少一个发生”概率的重要公式。

3. 独立性的应用

3.1 独立重复试验

若 $n$ 次试验中各次试验的结果互不影响，则称这 $n$ 次试验为独立重复试验。

在独立重复试验中，若每次试验只有两个可能结果（$A$ 和 $\bar{A}$），且 $P(A)=p$ 保持不变，则称为 $n$ 重伯努利试验。

3.2 系统可靠性

串联系统：$n$ 个元件串联，各元件独立工作，可靠度分别为 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$，系统可靠度为

$R={\prod }_{i=1}^n{p}_i$

并联系统：$n$ 个元件并联，系统可靠度为

$R=1-{\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$

3.3 独立性与条件概率的综合应用

例题：甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能破译的概率分别为 $\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3}$，求密码被破译的概率。

解：设 $A,B,C$ 分别为甲、乙、丙破译密码，则

$P(A\cup B\cup C)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})=1-\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$