概率基础典型例题

1. 样本空间与事件

例题1

设 $A,B,C$ 为三个事件，用 $A,B,C$ 的运算关系表示下列事件：

（1）$A$ 发生，$B$ 与 $C$ 不发生：$A\bar{B}\bar{C}$

（2）$A$ 与 $B$ 都发生，$C$ 不发生：$AB\bar{C}$

（3）$A,B,C$ 中至少有一个发生：$A\cup B\cup C$

（4）$A,B,C$ 都发生：$ABC$

（5）$A,B,C$ 都不发生：$\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

（6）$A,B,C$ 中不多于一个发生：$\bar{A}\bar{B}\bar{C}\cup A\bar{B}\bar{C}\cup \bar{A}B\bar{C}\cup \bar{A}\bar{B}C$

（7）$A,B,C$ 中恰有两个发生：$AB\bar{C}\cup A\bar{B}C\cup \bar{A}BC$

（8）$A,B,C$ 中至少有两个发生：$AB\cup AC\cup BC$

例题2

证明：$A\cup B=A\cup (B-A)=A\cup B\bar{A}$，且 $A$ 与 $B\bar{A}$ 互斥。

证明：

首先，$A\cup B=A\cup (B-AB)=A\cup B\bar{A}$（因为 $B-AB=B\bar{A}$）。

其次，$A\cap B\bar{A}=AB\bar{A}=A\bar{A}B=\varnothing$，故 $A$ 与 $B\bar{A}$ 互斥。

2. 古典概型

例题3

从 5 双不同的鞋中任取 4 只，求下列事件的概率：

（1）4 只鞋中至少有两只配成一双；

（2）4 只鞋恰好配成两双。

解：样本空间总数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210$。

（1）设 $A$ 为”至少有两只配对”，考虑对立事件 $\bar{A}$：“4 只鞋都不配对”。

从 5 双中选 4 双：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=5$；从每双中选 1 只：$2^4=16$。

$P(\bar{A})=\frac{5\times 16}{210}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$

$P(A)=1-\frac{8}{21}=\frac{13}{21}$

（2）恰好配成两双：从 5 双中选 2 双，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$。

$P=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$

例题4

从 $1,2,\cdots ,n$ 中任取两个数，求这两个数之和为偶数的概率。

解：两数之和为偶数，当且仅当两数同为奇数或同为偶数。

设 $n$ 中有 $k$ 个奇数和 $n-k$ 个偶数：

• 当 $n$ 为偶数时，$k=\frac{n}{2}$，$P=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n/2}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n/2}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}=\frac{2\cdot \frac{n/2(n/2-1)}{2}}{\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{n-2}{2(n-1)}$

• 当 $n$ 为奇数时，$k=\frac{n+1}{2}$，$P=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n+1)/2}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n-1)/2}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}=\frac{n-1}{2n}$

3. 几何概型

例题5

在区间 $(0,1)$ 中随机取两个数 $x$ 和 $y$，求 $xy<\frac{1}{4}$ 的概率。

解：$\Omega =\{(x,y)\mid 0<x<1,0<y<1\}$，$S(\Omega )=1$。

事件 $A=\left\{(x,y)\mid xy<\frac{1}{4},0<x<1,0<y<1\right\}$。

$S(A)={\int }_0^1\min \left(1,\frac{1}{4x}\right)dx={\int }_0^{1/4}1dx+{\int }_{1/4}^1\frac{1}{4x}dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}[\ln x{]}_{1/4}^1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ln 4$

$P(A)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ln 4=\frac{1+\ln 4}{4}\approx 0.597$

例题6

甲乙两船都要在同一个泊位停靠，甲船停靠时间为 1 小时，乙船停靠时间为 2 小时。设两船在一昼夜内到达的时刻是等可能的，求两船都不需要等待的概率。

解：设甲船到达时刻为 $x$，乙船到达时刻为 $y$，$0\le x,y\le 24$。

两船不需要等待的条件：$y\ge x+1$ 或 $x\ge y+2$。

$S(\Omega )=24^2=576$

$S(A)=\frac{1}{2}(23{)}^2+\frac{1}{2}(22{)}^2=\frac{529+484}{2}=\frac{1013}{2}$

$P(A)=\frac{1013/2}{576}=\frac{1013}{1152}\approx 0.879$

4. 条件概率与乘法公式

例题7

袋中有 3 个红球和 2 个白球，每次取一个球，取后不放回，求第三次才取到白球的概率。

解：设 $A_i$ 为第 $i$ 次取到红球，$B$ 为第三次取到白球。

$P(B)=P(A_1{A}_2{\bar{A}}_3)=P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)\cdot P({\bar{A}}_3\mid A_1{A}_2)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{5}$

例题8

已知 $P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B\mid A)=\frac{1}{3}$，$P(A\mid B)=\frac{1}{2}$，求 $P(A\cup B)$。

解：

$P(AB)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$

$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A\mid B)}=\frac{1/12}{1/2}=\frac{1}{6}$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{3+2-1}{12}=\frac{1}{3}$

5. 全概率公式与贝叶斯公式

例题9

有三箱同型号产品，分别装有 10 件、15 件、20 件，其中一等品分别为 7 件、10 件、14 件。现从三箱中随机取一箱，再从该箱中随机取一件，求取到一等品的概率。

解：设 $B_i$ 为取到第 $i$ 箱（$i=1,2,3$），$A$ 为取到一等品。

$P(A)={\sum }_{i=1}^{3}P(B_i)P(A\mid B_i)=\frac{1}{3}\times \frac{7}{10}+\frac{1}{3}\times \frac{10}{15}+\frac{1}{3}\times \frac{14}{20}=\frac{1}{3}\left(\frac{7}{10}+\frac{2}{3}+\frac{7}{10}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{61}{30}=\frac{61}{90}$

例题10

某地区肝癌发病率为 0.0004，现有一种化验方法，患肝癌者化验结果为阳性的概率为 0.95，非肝癌者化验结果为阴性的概率为 0.90。若某人化验结果为阳性，求其确患肝癌的概率。

解：设 $D$ 为”患肝癌”，$+$ 为”化验阳性”。

$P(D\mid +)=\frac{P(D)P(+\mid D)}{P(D)P(+\mid D)+P(\bar{D})P(+\mid \bar{D})}=\frac{0.0004\times 0.95}{0.0004\times 0.95+0.9996\times 0.10}$

$=\frac{0.00038}{0.00038+0.09996}=\frac{0.00038}{0.10034}\approx 0.00379$

即使化验为阳性，患肝癌的概率也仅约 0.38%，说明低患病率下单次检验的阳性预测值很低。

6. 事件的独立性

例题11

设 $P(A)=0.4$，$P(A\cup B)=0.7$，在下列两种情况下求 $P(B)$：

（1）$A$ 与 $B$ 互斥；

（2）$A$ 与 $B$ 独立。

解：

（1）$A$ 与 $B$ 互斥：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

$P(B)=0.7-0.4=0.3$

（2）$A$ 与 $B$ 独立：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$

$0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)=0.4+0.6P(B)$

$P(B)=\frac{0.3}{0.6}=0.5$

例题12

三人独立地去破译一份密码，他们能译出的概率分别为 $\frac{1}{5},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，问密码被译出的概率是多少？

解：

$P(\text{被译出})=1-P(\text{都未译出})=1-\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=1-\frac{4}{5}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$

7. 综合题

例题13

某工厂有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，产量分别占总产量的 25%、35%、40%，各台机器的次品率分别为 5%、4%、2%。现从全部产品中任取一件，发现是次品，求它是甲机器生产的概率。

解：

$P(\text{甲}\mid \text{次品})=\frac{0.25\times 0.05}{0.25\times 0.05+0.35\times 0.04+0.40\times 0.02}=\frac{0.0125}{0.0125+0.014+0.008}=\frac{0.0125}{0.0345}=\frac{25}{69}$

例题14

甲袋中有 2 个白球和 3 个黑球，乙袋中有 4 个白球和 1 个黑球。从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求取到白球的概率。

解：设 $A$ 为”从甲袋取到白球”，$B$ 为”从乙袋取到白球”。

$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\bar{A})P(B\mid \bar{A})$

$=\frac{2}{5}\times \frac{5}{6}+\frac{3}{5}\times \frac{4}{6}=\frac{10}{30}+\frac{12}{30}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}$

例题15

证明：若 $P(A\mid B)>P(A)$，则 $P(B\mid A)>P(B)$。

证明：由 $P(A\mid B)>P(A)$ 得

$\frac{P(AB)}{P(B)}>P(A)⟹P(AB)>P(A)P(B)$

因此

$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$

这说明”正相关性”是对称的：$A$ 促进 $B$ 等价于 $B$ 促进 $A$。