t检验

1. 单总体均值的 t 检验

1.1 适用条件

• 总体服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma$ 未知
• 用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$

1.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0:\mu ={\mu }_0$，$H_1:\mu \ne {\mu }_0$
• 右侧：$H_0:\mu \le {\mu }_0$，$H_1:\mu >{\mu }_0$
• 左侧：$H_0:\mu \ge {\mu }_0$，$H_1:\mu <{\mu }_0$

检验统计量：

$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

拒绝域：

1.3 示例

例题：某批零件的长度服从正态分布，标准长度为 50mm。现抽取 6 件，测得长度为：49.8, 50.2, 50.1, 49.7, 50.3, 49.9。在 $\alpha =0.05$ 下检验该批零件长度是否符合标准。

解：

$H_0:\mu =50$，$H_1:\mu \ne 50$

$\bar{x}=50.0$，$s=0.234$

$T=\frac{50.0-50}{0.234/\sqrt{6}}=0$

$t_{0.025}(5)=2.571$，$|T|=0<2.571$，不拒绝 $H_0$。

零件长度符合标准。

2. 双总体均值差的 t 检验

2.1 等方差情形（Student t 检验）

条件：${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$（未知）

检验统计量：

$T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-d_0}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$

其中 $S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$。

2.2 不等方差情形（Welch t 检验）

条件：${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$（未知）

检验统计量：

$T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-d_0}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}$

近似服从 $t(\nu )$，其中自由度

$\nu =\frac{{\left(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}\right)}^2}{\frac{(S_1^2/n_1{)}^2}{n_1-1}+\frac{(S_2^2/n_2{)}^2}{n_2-1}}$

2.3 示例

例题：比较两种肥料对作物产量的影响。肥料A施于 7 块地，平均产量 $\bar{x}=48.6$，$s_1=4.2$；肥料B施于 6 块地，平均产量 $\bar{y}=44.2$，$s_2=3.8$。假设产量服从正态分布且方差相等，在 $\alpha =0.05$ 下检验两种肥料效果是否有显著差异。

解：

$H_0:{\mu }_1={\mu }_2$，$H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

$S_w^2=\frac{6\times 17.64+5\times 14.44}{11}=\frac{105.84+72.20}{11}=16.185$

$T=\frac{48.6-44.2}{\sqrt{16.185\times (1/7+1/6)}}=\frac{4.4}{\sqrt{16.185\times 0.310}}=\frac{4.4}{2.239}=1.965$

$t_{0.025}(11)=2.201$，$|T|=1.965<2.201$，不拒绝 $H_0$。

两种肥料效果无显著差异。

3. 配对 t 检验

3.1 适用条件

当两个样本是配对的（同一组对象在不同条件下的测量），用配对 t 检验。

3.2 方法

设 $d_i=X_i-Y_i$（$i=1,2,\cdots ,n$），检验 $H_0:{\mu }_d=0$。

$T=\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

其中 $\bar{d}=\frac{1}{n}\sum d_i$，$S_d^2=\frac{1}{n-1}\sum (d_i-\bar{d}{)}^2$。

3.3 配对 vs 非配对

• 配对设计：消除个体差异的影响，检验更灵敏
• 非配对设计：适用于独立样本

3.4 示例

例题：为比较两种测量方法的差异，对 8 个样品分别用两种方法测量，差值（方法A - 方法B）为：0.3, -0.2, 0.5, 0.1, -0.1, 0.4, 0.2, -0.3。在 $\alpha =0.05$ 下检验两种方法是否有系统差异。

解：

$H_0:{\mu }_d=0$，$H_1:{\mu }_d\ne 0$

$\bar{d}=0.1125$，$s_d=0.299$

$T=\frac{0.1125}{0.299/\sqrt{8}}=\frac{0.1125}{0.1057}=1.064$

$t_{0.025}(7)=2.365$，$|T|=1.064<2.365$，不拒绝 $H_0$。

两种方法无显著系统差异。

4. t 检验汇总