大数定律与中心极限定理典型例题

1. 切比雪夫不等式

例题1

设 $E(X)=1$，$D(X)=0.04$，利用切比雪夫不等式估计 $P(0.6<X<1.4)$。

解：

$P(0.6<X<1.4)=P(|X-1|<0.4)\ge 1-\frac{0.04}{0.16}=1-0.25=0.75$

例题2

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{100}$ 独立同分布，$E(X_i)=5$，$D(X_i)=1$，利用切比雪夫不等式估计 $P(4.7<\bar{X}<5.3)$。

解：$E(\bar{X})=5$，$D(\bar{X})=0.01$。

$P(4.7<\bar{X}<5.3)=P(|\bar{X}-5|<0.3)\ge 1-\frac{0.01}{0.09}=\frac{8}{9}\approx 0.889$

例题3

设 $X\sim P(5)$，利用切比雪夫不等式估计 $P(X\ge 10)$。

解：$E(X)=5$，$D(X)=5$。

$P(X\ge 10)=P(X-5\ge 5)\le P(|X-5|\ge 5)\le \frac{5}{25}=0.2$

2. 大数定律

例题4

设 $X_1,X_2,\cdots$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2$，证明 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }{\mu }^2+{\sigma }^2$。

证明：设 $Y_i=X_i^2$，则 $Y_1,Y_2,\cdots$ 独立同分布。

$E(Y_i)=E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i){]}^2={\sigma }^2+{\mu }^2$

由辛钦大数定律：

$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }{\sigma }^2+{\mu }^2$

例题5

设 $X_1,X_2,\cdots$ 独立同分布，$X_i\sim U(0,1)$，证明 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i(1-X_i)\stackrel{P}{\to }\frac{1}{6}$。

证明：设 $Y_i=X_i(1-X_i)$，则

$E(Y_i)=E(X_i)-E(X_i^2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

由辛钦大数定律，$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i\stackrel{P}{\to }\frac{1}{6}$。

例题6

某事件 $A$ 在每次试验中发生的概率为 $p$，独立重复试验 $n$ 次，用频率 $\frac{n_A}{n}$ 估计 $p$。要使 $P\left(\left|\frac{n_A}{n}-p\right|<0.01\right)\ge 0.95$，$n$ 至少为多少？

解：$E\left(\frac{n_A}{n}\right)=p$，$D\left(\frac{n_A}{n}\right)=\frac{p(1-p)}{n}$。

由切比雪夫不等式：

$P\left(\left|\frac{n_A}{n}-p\right|<0.01\right)\ge 1-\frac{p(1-p)}{n\times 0.0001}$

$p(1-p)\le \frac{1}{4}$（$p=0.5$ 时取最大值），故

$1-\frac{1}{4n\times 0.0001}\ge 0.95⟹n\ge \frac{1}{4\times 0.0001\times 0.05}=50000$

3. 中心极限定理

例题7

某厂生产的产品次品率为 0.03，从中任取 1000 件，求次品数在 20 到 40 之间的概率。

解：设 $X$ 为次品数，$X\sim B(1000,0.03)$。

$E(X)=30$，$D(X)=29.1$。

$P(20\le X\le 40)\approx \Phi \left(\frac{40-30}{\sqrt{29.1}}\right)-\Phi \left(\frac{20-30}{\sqrt{29.1}}\right)$

$=\Phi (1.854)-\Phi (-1.854)=2\Phi (1.854)-1\approx 2\times 0.9682-1=0.9364$

例题8

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{50}$ 独立同分布，$X_i\sim \text{Exp}(2)$，求 $P\left({\sum }_{i=1}^{50}{X}_i>30\right)$。

解：$E(X_i)=0.5$，$D(X_i)=0.25$。

$E\left(\sum X_i\right)=25$，$D\left(\sum X_i\right)=12.5$。

$P\left({\sum }_{i=1}^{50}{X}_i>30\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{30-25}{\sqrt{12.5}}\right)=1-\Phi (1.414)\approx 1-0.9214=0.0786$

例题9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{36}$ 独立同分布，$X_i\sim U(0,10)$，求 $P(\bar{X}>5.5)$。

解：$E(X_i)=5$，$D(X_i)=\frac{100}{12}=\frac{25}{3}$。

$E(\bar{X})=5$，$D(\bar{X})=\frac{25}{108}$。

$P(\bar{X}>5.5)\approx 1-\Phi \left(\frac{5.5-5}{\sqrt{25/108}}\right)=1-\Phi (1.039)\approx 1-0.8506=0.1494$

例题10

某保险公司有 10000 人投保，每人每年交保费 12 元，每人出险概率为 0.006，出险时赔付 1000 元。求保险公司亏本的概率。

解：设 $X$ 为出险人数，$X\sim B(10000,0.006)$。

保险公司收入 = $10000\times 12=120000$ 元。

赔付 = $1000X$ 元。

亏本条件：$1000X>120000$，即 $X>120$。

$E(X)=60$，$D(X)=59.64$。

$P(X>120)\approx 1-\Phi \left(\frac{120-60}{\sqrt{59.64}}\right)=1-\Phi (7.77)\approx 0$

保险公司几乎不可能亏本。

例题11

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=0$，$D(X_i)=1$，求 $n$ 使得 $P\left(\left|{\sum }_{i=1}^n{X}_i\right|<10\right)\ge 0.9$。

解：由中心极限定理，${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 近似服从 $N(0,n)$。

$P\left(\left|{\sum }_{i=1}^n{X}_i\right|<10\right)=P\left(\frac{|\sum X_i|}{\sqrt{n}}<\frac{10}{\sqrt{n}}\right)\approx 2\Phi \left(\frac{10}{\sqrt{n}}\right)-1\ge 0.9$

$\Phi \left(\frac{10}{\sqrt{n}}\right)\ge 0.95⟹\frac{10}{\sqrt{n}}\ge 1.645⟹n\le 36.9$

取 $n\le 36$。

例题12

设 $X_i$ 表示第 $i$ 个产品的重量（克），$E(X_i)=50$，$D(X_i)=25$。一箱装 100 个产品，求一箱产品重量超过 5025 克的概率。

解：$S={\sum }_{i=1}^{100}{X}_i$，$E(S)=5000$，$D(S)=2500$。

$P(S>5025)\approx 1-\Phi \left(\frac{5025-5000}{50}\right)=1-\Phi (0.5)=1-0.6915=0.3085$

例题13

证明：若 $X_n\stackrel{P}{\to }X$，$Y_n\stackrel{P}{\to }Y$，则 $X_n+Y_n\stackrel{P}{\to }X+Y$。

证明：对任意 $\epsilon >0$，

$P(|(X_n+Y_n)-(X+Y)|\ge \epsilon )\le P(|X_n-X|\ge \epsilon /2)+P(|Y_n-Y|\ge \epsilon /2)\to 0$

例题14

设 $X_1,X_2,\cdots$ 独立同分布，$E(X_i)=3$，$D(X_i)=4$，求 $P(2.8<{\bar{X}}_{100}<3.2)$ 的近似值。

解：$E(\bar{X})=3$，$D(\bar{X})=0.04$，${\sigma }_{\bar{X}}=0.2$。

$P(2.8<\bar{X}<3.2)\approx \Phi (1)-\Phi (-1)=2\Phi (1)-1=2\times 0.8413-1=0.6826$

例题15

设 $X_1,X_2,\cdots$ 独立同分布，$X_i\sim U(-1,1)$，求 $P\left({\sum }_{i=1}^{48}{X}_i>4\right)$ 的近似值。

解：$E(X_i)=0$，$D(X_i)=\frac{1}{3}$。

$E\left(\sum X_i\right)=0$，$D\left(\sum X_i\right)=16$。

$P\left({\sum }_{i=1}^{48}{X}_i>4\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{4}{4}\right)=1-\Phi (1)=0.1587$